商环

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環論中,商環(或稱剩餘類環)是環對一個理想的商結構。

定義[编辑]

R為一I \subset R為一雙邊理想。定義下述等價關係

x \sim y \iff x-y \in I

R/I為其等價類的集合,其中的元素記作a + I,其中a是該元素在R上任一代表元。我們可以在R/I上定義環結構:

(a+I) +(b+I) =(a+b) + I
(a+I) \cdot(b+I) = ab + I

以上運算是明確定義的(在第二式中須用到I是雙邊理想)。集合R/I配合上述運算稱作RI商環。根據定義,商映射R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I是滿的環同態, I 為此同態的核。

如果R含單位元1,則1+IR/I的單位元。

:若條件弱化為I是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合R/I左(或右)R-結構。

例子[编辑]

  • 最平凡的例子是I=(0), I=R,此時分別得到R/I=R, R/I=(0)
  • R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z},商環\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}可視為模運算的代數框架,其中的元素即模n的剩餘類。
  • 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環R = \mathbb{R}[X]I =(X^2+1)\mathbb{R}[X],則商環\mathbb{R}[X]/(X^2+1)與複數域\mathbb{C}同構(考慮映射f (X) +(X^2+1) \mapsto f (i))。一般而言,設F為一個p (X) \in F[X]F上的不可約多項式,則商環F[X]/p (X)的意義在於抽象地在F上加進p (X)的一個根。

性質[编辑]

商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):

\pi: R \rightarrow R/I為商同態;對任何環同態\phi: R \rightarrow S,若 \mathrm{Ker}(\phi) \supset I,則存在唯一的同態\psi: R/I \rightarrow S ,使得\psi \circ \pi = \phi

事實上,若更設\mathrm{Ker}(\phi)=(0),則\psi: R/I \rightarrow S是單射。準此,R的同態像無非是R的商環。

理想的性質常與其商環相關,例如當R是交換含幺環時,I素理想(或極大理想)若且唯若R/I整環(或);R中包含I的理想一一對應於R/I中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。

文獻[编辑]