商环

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。

定義

設 $R$ 為一環，$I \subset R$ 為一雙邊理想。定義下述等價關係

$x \sim y \iff x-y \in I$

令 $R/I$ 為其等價類，其中的元素記作 $a + I$，其中 $a$ 是該元素在 $R$ 上任一代表元。我們可以在 $R/I$ 上定義環結構：

$(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$

$(a+I) \cdot (b+I) = ab + I$

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到 $I$ 是雙邊理想）。集合 $R/I$ 配合上述運算稱作 $R$ 對 $I$ 的商環。根據定義，商映射 $R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I$ 是滿的環同態，$I$ 為此同態的核。

如果 $R$ 含單位元 $1$，則 $1+I$ 是 $R/I$ 的單位元。

註：若條件弱化為 $I$ 是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合 $R/I$ 左（或右） $R$-模結構。

例子

• 最平凡的例子是 $I=(0), I=R$，此時分別得到 $R/I=R, R/I=(0)$。
• 取 $R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z}$，商環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 可視為模運算的代數框架，其中的元素即模 $n$ 的剩餘類。
• 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環 $R = \mathbb{R}[X]$，$I = (X^2+1)\mathbb{R}[X]$，則商環 $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ 與複數域 $\mathbb{C}$ 同構（考慮映射 $f(X) + (X^2+1) \mapsto f(i)$）。一般而言，設 $F$ 為一個域，$p(X) \in F[X]$ 為 $F$ 上的不可約多項式，則商環 $F[X]/p(X)$ 的意義在於抽象地在 $F$ 上加進 $p(X)$ 的一個根。

性質

商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設 $\pi: R \rightarrow R/I$ 為商同態；對任何環同態 $\phi: R \rightarrow S$，若 $\mathrm{Ker}(\phi) \supset I$，則存在唯一的同態 $\psi: R/I \rightarrow S$，使得 $\psi \circ \pi = \phi$。

事實上，若更設 $\mathrm{Ker}(\phi)=(0)$，則 $\psi: R/I \rightarrow S$ 是單射。準此，$R$ 的同態像無非是 $R$ 的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當 $R$ 是交換含么環時，$I$ 是素理想（或極大理想）若且唯若 $R/I$ 是整環（或域）；$R$ 中包含 $I$ 的理想一一對應於 $R/I$ 中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X