商环

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環論中,商環(或稱剩餘類環)是環對一個理想的商結構。

定義[编辑]

R 為一I \subset R 為一雙邊理想。定義下述等價關係

x \sim y \iff x-y \in I

R/I 為其等價類的集合,其中的元素記作 a + I,其中 a 是該元素在 R 上任一代表元。我們可以在 R/I 上定義環結構:

(a+I) + (b+I) = (a+b) + I
(a+I) \cdot (b+I) = ab + I

以上運算是明確定義的(在第二式中須用到 I 是雙邊理想)。集合 R/I 配合上述運算稱作 RI商環。根據定義,商映射 R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I 是滿的環同態, I 為此同態的核。

如果 R 含單位元 1,則 1+IR/I 的單位元。

:若條件弱化為 I 是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合 R/I 左(或右) R-結構。

例子[编辑]

  • 最平凡的例子是 I=(0), I=R,此時分別得到 R/I=R, R/I=(0)
  • R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z},商環 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 可視為模運算的代數框架,其中的元素即模 n 的剩餘類。
  • 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環 R = \mathbb{R}[X]I = (X^2+1)\mathbb{R}[X],則商環 \mathbb{R}[X]/(X^2+1) 與複數域 \mathbb{C} 同構(考慮映射 f(X) + (X^2+1) \mapsto f(i))。一般而言,設 F 為一個p(X) \in F[X]F 上的不可約多項式,則商環 F[X]/p(X) 的意義在於抽象地在 F 上加進 p(X) 的一個根。

性質[编辑]

商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):

\pi: R \rightarrow R/I 為商同態;對任何環同態 \phi: R \rightarrow S,若 \mathrm{Ker}(\phi) \supset I,則存在唯一的同態 \psi: R/I \rightarrow S ,使得 \psi \circ \pi = \phi

事實上,若更設 \mathrm{Ker}(\phi)=(0),則 \psi: R/I \rightarrow S 是單射。準此,R 的同態像無非是 R 的商環。

理想的性質常與其商環相關,例如當 R 是交換含幺環時,I素理想(或極大理想)若且唯若 R/I整環(或);R 中包含 I 的理想一一對應於 R/I 中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。

文獻[编辑]