商空间

在拓扑学及其相关数学领域，一个商空间（quotient space，也称为等化空间 identification space）直观上说是将一个给定空间的一些点等同或“黏合在一起”；由一个等价关系确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。

定义

假设 X 是一个拓扑空间，~ 是 X 上一个等价关系。我们在商集合 X/~ （这个集合有所有 ~ 的等价类组成）上定义一个拓扑如下：X/~ 中一个等价集合是开集当且仅当他们的并集在 X 中是开集。所得的拓扑称为在商集合 X/~ 上的商拓扑（quotient topology）。

等价地，商拓扑可以如下方式刻画：设 q : X → X/~ 是投影映射，将 X 的任何元素映为它的等价类。则 X/~ 上的商拓扑是使 q 连续的最细拓扑（finest topology）。

给定一个满射 f : X → Y 从一个拓扑空间 X 到一个集合 Y，我们可以在 Y 上定义商拓扑为使 f 连续的最细拓扑。这等价于说集合 V ⊆ Y 在 Y 中开当且仅当它的原像 f⁻¹(V) 在 X 中开。映射 f 在 X 上诱导了一个等价关系，即 x₁~x₂ 当且仅当 f(x₁) = f(x₂)。这个商空间 X/~ 同胚于 Y（带着它的商拓扑），同构映射为将 x 的等价类映为 f(x)。

一般地，一个满连续映射 f : X → Y 称为一个商映射（quotient map）如果 Y 具有由 f 确定的商拓扑。

例子

• 黏合：通常，拓扑学家讨论将一些点黏合在一起。如果 X 是一个拓扑空间，点 $x,y \in X$ “黏合”在一起，这意味着我们考虑由等价关系 a~b 当且仅当 a = b 或 a = x, b = y（或 a = y, b = x） 得到的商空间。即这两个点被看作一个。
• 考虑一个单位正方形 I² = [0,1]×[0,1] 以及由所有边界点等价生成的等价关系 ~ ，从而所有边界点等同到一个等价类。则 I²/~ 同构于单位球面 S²。
• 黏着空间（Adjunction space）：更一般地，假设 X 是一个空间，A 是 X 的一个子空间。我们可以将 A 中所有点等同到一个等价类，而 A 以外的点不变。所得的空间记作 X/A。2 维球面同构于将单位圆盘的边界等同为一个点 D²/∂D²。
• 考虑集合 X = R'，取通常拓扑的实数集，记 x ~ y 当且仅当 x−y 是一个整数。则商空间 X/~ 同构于单位圆周 S¹，同构映射为将 x 的等价类映为 exp(2πix)。
• 上一个例子的一类大量的推广如下：假设一个拓扑群 G 连续作用在空间 X 上。我们可以构造 X 上一个等价关系，如果两点等价当且仅当它们在同一个轨道中。这个关系下的商空间称为轨道空间，记作 X/G。上一个例子中 G = Z 通过平移作用在 R 上。轨道空间 R/Z 同构于 S¹。

注：记号 R/Z 有歧义：如果 Z 理解成一个群作用在 R 上则商空间是圆周；如果 Z 看作 R 的一个子空间，则商空间是无穷的一束圆（bouquet of circles）在同一个点联接起来。

性质

商映射 q : X → Y 是由如下性质刻画的满射：如果 Z 是任何拓扑空间，f : Y → Z 是任何函数，则 f 连续当且仅当 f O q 连续。

商空间 X/~ 与商映 q : X → X/~ 一起由如下泛性质刻画。如果 g : X → Z 是一个连续映射使得：对所有 a 与 b 属于 X， a~b 蕴含 g(a)=g(b) ，则存在惟一连续映射 f : X/~ → Z 使得 g = f O q。我们称 g “下降到商”。

因此定义在 X/~ 商的连续映射恰是由定义在 X 上与等价关系一致的连续映射（它们将同一个等价类中的元素映到相同的像）诱导的。在研究商空间时，时常使用这个判据。

给定一个连续满射 f : X → Y，关于 f 是否为商映射的判据是有用的。两个充分条件是 f 为开映射或闭映射。注意这两个条件只是充分条件而不是必要的。容易构造出不开或不闭的商映射例子。

与其它拓扑概念的相容性

• 分离
  • 一般地，商空间关于分离公理的表现都很坏。X 的分离性质不必被 X/~ 继承，而 X/~ 可能具有 X 所没有的分离性质。
  • X/~ 是一个T1空间当且仅当 ~ 的任何等价类在 X 中闭。
  • 如果商映射开则 X/~ 是一个豪斯多夫空间当且仅当 ~ 是乘积空间 X×X 的一个子集。
• 连通性
  • 如果一个空间是连通的或道路连通，则所有的商空间也是。
  • 一个单连通或可缩空间的商空间不必具有同样的性质。
• 紧性
  • 如果一个空间紧，则所有商空间也是。
  • 一个局部紧空间的商空间不必是局部紧的。
• 维数
  • 一个商空间的拓扑维数可能比原空间大（顯然也可能比較小），皮亚诺曲线（space-filling curve）提供了这样的例子。

又见

拓扑学

• 子空间
• 乘积空间
• 不交并
• 最终拓扑（Final topology）

代数

• 商群
• 商空间
• 商范畴

参考

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• PlanetMath上Quotient space的資料。