商群

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群论
Rubik's cube.svg

數學中,給定一個GG正規子群NGN上的商群因子群,在直覺上是把正規子群N“萎縮”為單位元的群。商群寫為G/N并念作G mod Nmod的簡寫)。如果N不是正規子群,商仍可得到,但結果將不是群,而是齊次空間

群的子集的乘積[编辑]

在隨后的討論中,我們將使用在G的子集上的二元運算:如果給出G的兩個子集ST,我們定義它們的乘積ST = { st : sS并且tT }。這個運算是符合結合律的并有單位元單元素集合{e},這里的eG的單位元。因此,G的所有子集的集合形成了在這個運算下的幺半群

憑借這個運算我們可以首先解釋商群是什么,并接著解釋正規子群是什么:

G的商群是G的一個劃分,而它在這個乘積運算下是群。

它完全由包含e的子集所確定。G正規子群是在任何這種劃分中包含e的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集

G的子群N是正規子群,當且僅當陪集等式aN = Na對于所有G中的a都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算,G的正規子群是交換於G的所有子集的子群,并指示為NG。置換於G的所有子群的子群叫做可置換子群

定義[编辑]

N是群G正規子群。我們定義集合G/NNG中的所有左陪集的集合,就是說G/N = { aN : aG }。在G/N上的群運算定義如上。換句話說,對于每個G/NaNbNaNbN的乘積是 (aN)(bN)。這個運算是閉合的,因為 (aN)(bN)實際上是左陪集:

(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N =(ab)NN =(ab)N

N的正規性被用在了這個等式中。因為N的正規性,NG中的左陪集和右陪集是相等的,所以G/N也可以定義為NG中所有的右陪集的集合。因為運算是從G的子集的乘積得出的,這個運算是良好定義的(不依賴於表示的特定選擇),符合結合律的,并有單位元NG/N的元素aN的逆元是a−1N

定義的動機[编辑]

G/N叫做商群的理由來自整數除法。在12除以3的時候得到答案4是因為我們可以把12個對象重新分組為3個對象的4個子搜集。商群出于同樣想法,但用一個群作為最終答案而非一個數,因為群要比對象的隨機搜集要更有結構。

更細致的說,在查看G/NNG的正規子群的時候,這個群結構形成一種自然“重新分組”。它們是NG中陪集。因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的(正常除法所產生的)數目要更多的信息,這里得到了一個群結構自身。

例子[编辑]

  • 考慮整數Z(在加法下)的群和所有偶數構成的子群2Z。這是個正規子群,因為Z阿貝爾群。只有兩個陪集:偶數的集合和奇數的集合;因此商群Z/2Z是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合{ 0, 1 }帶有模2加法運算的群;非正式的說,有時稱Z/2Z等于集合{ 0, 1 }帶有模2加法。
  • 上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集Z在加法下的群。設n是任何正整數。我們考慮由n的所有倍數構成的Z的子群nZnZZ中還是正規子群因為Z是阿貝爾群。陪集們是搜集{nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整數k屬于陪集r+nZ,這里的rk除以n的馀數。商Z/nZ可以被認為模以n的“馀數”的群。這是個n循環群
NG中的陪集
  • 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群G,它們是在單位圓上的點,它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角。考慮它由單位一的四次根構成的子群N,在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集,分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群(紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素,藍色元素的逆元是綠色元素等等)。因此商群G/N是三種顏色元素的群,它又是三個元素的循環群。
  • 考慮實數R在加法下的群,和整數集子群ZZR中的陪集們是形如a + Z的所有集合,這里0 ≤ a < 1是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法,并在結果大於或等于1的時候減去1完成的。商群R/Z同構於圓群S1,它是絕對值為1的複數在乘法下的群,或者說關于原點的二維旋轉的群,也就是特殊正交群SO(2)。有一個同構給出為f(a + Z) = exp(2πia,參見歐拉恒等式)。
  • 如果G是可逆的3 × 3實數矩陣的群,而N是帶有行列式為1的3 × 3實數矩陣的子群,那么NG中是正規子群(因為它是行列式同態)。N的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們,因此G/N同構於非零實數的乘法群。
  • 考慮阿貝爾群Z4 = Z/4Z(也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }帶有加法4),和它的子群{ 0, 2 }。商群Z4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元{ 0, 2 }的群,群運算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同構於Z2
  • 考慮乘法群G=\mathbf{Z}^*_{n^2}。第n個馀數的集合N\mathbf{Z}^*_nϕ (n)階乘法子群。則NG中是正規子群并且因子群G/N有陪集N,(1+nN, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。Pallier加密系統基于了在不知道n的因子分解的時候難于確定G的隨機元素的陪集的猜想

性質[编辑]

商群G / G 同構於平凡群(只有一個元素的群),而G / {e}同構於G

G / N定義為等于[G : N],它是NG中的子群的指標(index)。如果G是有限的,這個指標還等于G的階除以N的階。注意G / N可以在GN二者是無限的時候是有限的(比如Z / 2Z)。

有一個“自然”滿射群同態π : GG / N,把每個G的元素g映射到g所屬于的N的陪集上,也就是:π(g) = gN。映射π有時叫做“G到G / N上的規范投影”。它的N

在包含NG的子群和G / N的子群之間有一個雙射映射;如果H是包含NG的子群,則對應的G / N的子群是π(H)。這個映射對于G的正規子群和G / N也成立,并在格定理中形式化。

商群的一些重要性質記錄在同態基本定理同構基本定理中。

如果G阿貝爾群冪零群可解群,則G / N也是。

如果G循環群有限生成群,則G / N也是。

如果N被包含在G中心內,則G也叫做這個商群的中心擴張

如果H是在有限群G中的子群,并且H的階是G的階的一半,則H保證是正規子群,因此G / H存在并同構於C2。這個結果還可以陳述為“任何指標為2的子群都是正規子群”,并且它的這種形式還適用於無限群。

所有群都同構於一個自由群的商。

有時但非必然的,群G可以從G / NN重構為一個直積半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。Z4 / { 0, 2 }同構於Z2,并且還同構於{ 0, 2 },但是唯一的半直積是直積,因為Z2只有一個平凡的自同構。所以Z4不同于Z2 × Z2,它不能被重構。

參見[编辑]