單連通

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這個集合是單連通的,它有三個洞。

拓撲學中,單連通拓撲空間的一種性質。直觀地說,單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。

定義[编辑]

考慮道路連通之拓撲空間 X。若 X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點,則稱該空間為單連通的。換言之,對任意連續映射

\gamma: \mathrm{S}^1 \to X

存在一點 x \in X同倫等價 h: [0,1] \times \mathrm{S}^1 \to X 使得

\forall t \in S^1, \; h(0,t)=\gamma(t)
\forall t \in S^1, \; h(1,t) = x

另一種等價的敘述是:存在映射 k: D^2 \to X,其中 D^2 表二維單位圓盤,使得 k|_{S^1} = \gamma

若拓撲空間 X 可寫成單連通開子集之并,則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間(例如流形)通常不外此類。

與基本群的關係[编辑]

根據基本群的定義,可知空間 X 單連通之充要條件為:X 道路連通,且 \pi_1(X,x)=\{e\};此處可取任意基點 x \in X。由此可見空間的單連通性僅依賴於其同倫等價類。

例子[编辑]

將球面的赤道連續地收縮至一點
  • 單位圓盤 D^n := \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n : \|x\| \leq 1 \} 均為單連通
  • 二維以上球面 S^n := \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1 \}, n \geq 2 均為單連通。然而 S^1 並非單連通:\pi_1(S^1,*) = \mathbb{Z}
  • 穿孔之歐氏平面 \mathbb{R}^2 \setminus \{\vec 0\} 非單連通。事實上,它同倫等價於 S^1
  • \mathbb{R}^3 \setminus S^1 \times \{0\} 非單連通。

性質與應用[编辑]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Spanier, Edwin. Algebraic Topology. Springer. 1994-12. ISBN 0-387-94426-5. 
  • Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3. 
  • Bourbaki, Nicolas. Lie Groups and Lie Algebras. Springer. 2005. ISBN 3-540-43405-4. 
  • Gamelin, Theodore. Complex Analysis. Springer. 2001-01. ISBN 0-387-95069-9. 
  • Joshi, Kapli. Introduction to General Topology. New Age Publishers. 1983-08. ISBN 0-85226-444-5.