嘉當矩陣

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。

李代數

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 $A=(a_{ij})$：

1. 各項皆為整數：$\forall i,j, \; a_{ij} \in \mathbb{Z}$。
2. 對角線上的項等於二：$\forall i, \; a_{ii}=2$。
3. 非對角線項非正：$i \neq j \Rightarrow a_{ij} \leq 0$
4. $\forall i,j,\; a_{ij}=0 \Leftrightarrow a_{ji}=0$。
5. 存在正對角方陣 $D$ 使 $A$ 可以寫成 $D S D^{-1}$，其中 $S$ 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取 $S$ 為正定，則稱 $A$ 為嘉當矩陣。

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛：$A' = P^{-1} A P$，則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數可以得到根系，對應的廣義嘉當矩陣定義為

$a_{ij}={2 (r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}$

其中 $r_i$ 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 $n$ 個頂點（n 為嘉當矩陣 $A$ 的階數），將頂點 $i,j$ 以 $a_{ij} \cdot a_{ji}$ 條邊相連。定義每個頂點的權 $w_i$ 使得 $w_j/w_i = a_{ij}/a_{ji}$，若兩個相鄰頂點 $i,j$ 的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論

對於域 $F$ 上的有限維結合代數 $A$，考慮不可約、$F$-有限維左 $A$-模 $N_1, \ldots, N_n$，對每個 $1 \leq i \leq n$，存在唯一的不可分解左射影模 $P_i$ （至多差一個同構），使得 $\mathrm{Hom}(P_i,N_i) \neq \{0\}$。取 $c_{ij}$ 為 $N_j$ 在 $P_i$ 的合成列中作為合成因子的重數。方陣 $C := (c_{ij})$ 稱為 $A$ 的嘉當矩陣。

參考資料

• V.L. Popov, Cartan matrix//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104