嘉當矩陣

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在數學中,嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣,最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中,嘉當矩陣另有其它意義。

李代數[编辑]

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 A=(a_{ij})

  1. 各項皆為整數:\forall i,j, \; a_{ij} \in \mathbb{Z}
  2. 對角線上的項等於二:\forall i, \; a_{ii}=2
  3. 非對角線項非正:i \neq j \Rightarrow a_{ij} \leq 0
  4. \forall i,j,\; a_{ij}=0 \Leftrightarrow a_{ji}=0
  5. 存在正對角方陣 D 使 A 可以寫成 D S D^{-1},其中 S 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中,若可取 S 為正定,則稱 A嘉當矩陣

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛:A' = P^{-1} A P,則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣,則稱之為可化的,反之則稱為不可化

由半單李代數可以得到根系,對應的廣義嘉當矩陣定義為

a_{ij}={2 (r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}

其中 r_i 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 n 個頂點(n 為嘉當矩陣 A 的階數),將頂點 i,ja_{ij} \cdot a_{ji} 條邊相連。定義每個頂點的權 w_i 使得 w_j/w_i = a_{ij}/a_{ji},若兩個相鄰頂點 i,j 的權不同,則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論[编辑]

對於域 F 上的有限維結合代數 A,考慮不可約、F-有限維左 A-模 N_1, \ldots, N_n,對每個 1 \leq i \leq n,存在唯一的不可分解左射影模 P_i (至多差一個同構),使得 \mathrm{Hom}(P_i,N_i) \neq \{0\}。取 c_{ij}N_jP_i合成列中作為合成因子的重數。方陣 C := (c_{ij}) 稱為 A 的嘉當矩陣。

參考資料[编辑]