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四維矢量

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,{x}^{\mu}\,\!{x}_{\mu}\,\!。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,(x)^2\,\!表示x\,\!平方;而{x}^2\,\!{x}^{\mu}\,\!的第二個分量。

相對論裏,四維向量four-vector)是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為時間與三維位置。在閔考斯基時空內的任何一點,都代表一個事件,可以用四維向量表示。應用勞侖茲變換,而不是伽利略變換,我們可以使對於某慣性參考系的四維向量,經過平移旋轉,或遞升(相對速度為常數的勞侖茲變換),變換到對於另一個慣性參考系的四維向量。所有這些平移,旋轉,或遞升的集合形成了龐加萊群Poincaré group)。所有的旋轉,或遞升的集合則形成了勞侖茲群Lorentz group)。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量,雖然,四維向量概念也延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果,必須加以修改,才能在廣義相對論範圍內成立。

數學性質[编辑]

閔考斯基時空內的任何一點,都可以用四維向量(一組標準基底的四個坐標){x}^{\mu}=({x}^0,\, {x}^1,\, {x}^2,\, {x}^3)來表示;其中,上標\mu=0,\,1,\,2,\,3標記時空的維數次序。稱這四維向量為坐標四維向量,又稱四維坐標,定義為

{x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (ct,\, x,\, y,\, z)

其中,c光速t是時間,(x,\, y,\, z) 是位置的三維直角坐標

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位,定義{x}^0\ \stackrel{def}{=}\ ct

四維位移定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏,四維位移可以用一隻從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時,位移就是位置。關於四維向量的理論,通常提到的是位移。四維位移\Delta {x}^{\mu}表示為

 \Delta {x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)

帶有上標的四維向量{U}^{\mu}稱為反變矢量,其分量標記為

{U}^{\mu}=\ ({U}^0,\, {U}^1,\, {U}^2,\, {U}^3)

假若,標號是下標,則稱四維向量{U}_{\mu}協變矢量。其分量標記為

{U}_{\mu}=\ ({U}_0,\, {U}_1,\, {U}_2,\, {U}_3)=\ ({U}^0,\, - {U}^1,\, - {U}^2,\, - {U}^3)

設定閔考斯基度規\eta_{\mu\nu}

\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix}  1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)

那麼,採用愛因斯坦求和約定,四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

U_{\mu} =\eta_{\mu \nu}  U^{\nu}

閔考斯基度規等於其共軛度規張量\eta^{\mu\nu}

\eta^{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix}  1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right)

勞侖茲變換[编辑]

給予兩個慣性參考系 \mathcal{S}\bar{\mathcal{S}};相對於參考系 \mathcal{S},參考系 \bar{\mathcal{S}}以速度\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣\Lambda^{\mu}_{\nu}

\Lambda^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix}  \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\  - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)

其中,\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}勞侖茲因子\beta=\frac{v}{c}貝他因子

對於這兩個參考系,假設一個事件的四維坐標分別為{x}^{\mu}\bar{x}^{\mu}。那麼,這兩個四維坐標之間的關係為

\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}\ x^{\nu}
x^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu}_{\nu}\ \bar{x}^{\nu}

其中,\bar{\Lambda}^{\mu}_{\nu}\Lambda^{\mu}_{\nu}逆反

\bar{\Lambda}^{\mu}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix}  \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\  \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)

因為

\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}\ x^{\nu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu}_{\xi}\ \bar{x}^{\xi}

所以,勞侖茲變換矩陣有一個特性:

\Lambda^{\mu}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu}_{\xi}=\delta^{\mu}_{\xi}

其中,\delta^{\mu}_{\xi}克羅內克函數

另外一個很有用的特性為

\bar{\Lambda}^{\mu}_{\nu}=\eta_{\alpha\nu}\ \eta^{\beta\mu}\ \Lambda^{\alpha}_{\beta}

透過勞侖茲變換,給予一個事件對於某慣性參考系的四維坐標,即可計算出這事件對於另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很優良的物理性質。當研究物理現象時,所涉及的四維向量,最好都能夠具有這優良的性質。這樣,可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示,對於兩個參考系 \mathcal{S}\bar{\mathcal{S}},具有這種優良性質的四維向量{U}^{\mu}滿足

\bar{U}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}\ U^{\nu}
U^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu}_{\nu}\ \bar{U}^{\nu}

在計算這四維向量對於時間的導數時,若能選擇固有時為時間變數,則求得的四維向量仍舊具有這優良的性質。因為,固有時乃是個不變量;改換慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。相對於實驗室參考系,物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻,選擇與這物體同樣運動的慣性參考系,稱為靜止參考系。相對於這靜止參考系,這物體的速度為零。隨著物體不斷地改變運動速度與方向,新的慣性參考系也會不斷地改換為靜止參考系。隨著這些不斷改換的靜止參考系所測得的時間即為固有時,標記為 \tau。這就好像給物體掛戴一隻手錶,隨著物體的運動,手錶也會做同樣的運動,而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線world linex(\tau)來描述。由於時間膨脹,發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 \Delta \tau與從別的慣性參考系 \mathcal{S}所觀測到的微小時間間隔 \Delta t的關係為

\Delta t=\gamma\Delta \tau

所以,固有時 \tau對於其它時間 t的導數為

\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma}

閔考斯基內積[编辑]

兩個四維向量U^{\mu}V_{\mu}內積,以方程式表示為:

U^{\mu}V_{\mu} \ \stackrel{def}{=}\ U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

有時候,這內積被稱為閔考斯基內積。從數學觀點來說,由於這內積並不具正定性,這內積並不是完美的內積。例如,

U^{\mu}U_{\mu}= (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2

可能會是負數;而內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的\eta

\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix}  - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)

這樣,內積改變為

U^{\mu}V_{\mu}=  - U^0 V^0+U^1 V^1 + U^2 V^2 + U^3 V^3

其它相聯的量值也會因而改變正負號,但這不會改變系統的物理性質。

從某一坐標系 \mathcal{S}變換至另外一坐標系 \overline{\mathcal{S}},內積的值為

\overline{U}^{\mu}\overline{V}_{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\alpha}\ U^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\overline{V}^{\beta} =\Lambda^{\mu}_{\alpha}\ U^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \Lambda^{\beta}_{\xi}\ V^{\xi} =\Lambda^{\mu}_{\alpha}\ U^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \Lambda^{\beta}_{\xi}\ \eta^{\xi\zeta}\ V_{\zeta}
=\Lambda^{\mu}_{\alpha}\ U^{\alpha}\ \overline{\Lambda}^{\zeta}_{\mu}\ V_{\zeta}
=\delta^{\zeta}_{\alpha}\ U^{\alpha}\ V_{\zeta} =U^{\alpha}V_{\alpha}

所以,在閔考斯基時空內,兩個四維向量的內積是個不變量

U^{\mu}V_{\mu}=\overline{U}^{\mu}\overline{V}_{\mu}

四維向量可以分類為類時類空,或類光零矢量):

類時矢量:U^{\mu} U_{\mu} > 0
類空矢量:U^{\mu} U_{\mu} < 0
類光矢量:U^{\mu} U_{\mu} = 0

動力學實例[编辑]

四維速度[编辑]

假設一個物體運動於閔考斯基時空。其世界線的任意事件x^{\mu}(\tau)的四維速度 U^{\mu}定義為

U^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}= \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\ \frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}t}= \left(\gamma c,\ \gamma \mathbf{u} \right)

其中,\mathbf{u}=\left(\frac{\mathrm{d}x^1}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t},\, \frac{\mathrm{d}x^3}{\mathrm{d}t}\right)是三維速度,或經典速度矢量。

U^{\mu}的空間部分與經典速度矢量\mathbf{u}的關係為

\left(U^1,\, U^2,\, U^3\right)=\gamma \mathbf{u}

四維速度與自己的內積等於光速平方,一個不變量:

U^{\mu}U_{\mu} = c^2

四維加速度[编辑]

四維加速度 \alpha^{\mu}定義為

\alpha^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}U^{\mu}}{\mathrm{d}\tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c,\, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \dot{\mathbf{u}} \right)

經過一番運算,可以得到勞侖茲因子對於時間的導數:

\dot{\gamma}=\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}=\gamma^3 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c^2

其中,\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}經典加速度

所以,四維加速度 \alpha^{\mu}可以表示為

\alpha^{\mu}=\left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)

由於 U_\mu U^\mu是個常數,四維加速度(假)正交於四維速度;也就是說,四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零:

\alpha_\mu  U^\mu = \frac{1}{2} \frac{\partial (U_\mu U^\mu)}{\partial \tau}=0

對於每一條世界線,這計算結果都成立。

四維動量[编辑]

一個靜止質量m的粒子的四維動量P^\mu定義為

P^\mu\ \stackrel{def}{=}\ m U^\mu=\left(\gamma m c,\,  \gamma m\mathbf{u} \right)

經典動量\mathbf{p}定義為

\mathbf{p}\ \stackrel{def}{=}\ m_{rel}\mathbf{u}=\gamma m\mathbf{u}

其中,m_{rel}是相對論性質量。

所以,P^\mu的空間部分等於經典動量\mathbf{p}

\left(P^1,\, P^2,\, P^3\right)=\mathbf{p}

四維力[编辑]

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數:

F^\mu\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}P^\mu}{\mathrm{d}\tau}

提出四維動量內的靜止質量因子,即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度:

F^\mu=m\frac{\mathrm{d}U^\mu}{\mathrm{d}\tau}=m \alpha^\mu

因此,四維力可以表示為

F^\mu=m \left(\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})/c,\, \gamma^2 \mathbf{a}+\gamma^4 (\mathbf{u}\cdot\mathbf{a})\mathbf{u}/c^2 \right)

經典力\mathbf{f}定義為

\mathbf{f}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

所以,F^\mu的空間部分等於\gamma \mathbf{f}

\left(F^1,\, F^2,\, F^3\right)=\gamma \mathbf{f}

物理內涵[编辑]

在四維向量的表述裏,存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係,可以顯示出這表述的功能與精緻。

質能方程式[编辑]

假設,在微小時間間隔\mathrm{d}t,一個運動於時空的粒子,感受到作用力\mathbf{f}的施加,而這粒子的微小位移為\mathrm{d}\mathbf{x}。那麼,作用力\mathbf{f}對於這粒子所做的微小機械功\mathrm{d}W

\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}

因此,這粒子的動能的改變\mathrm{d}K

\mathrm{d}K=\mathrm{d}W= \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}

粒子的動能K對於時間的導數為

 \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}= \mathbf{f} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f} \cdot \mathbf{u}

將前面經典力和經典速度的公式帶入,可以得到

 \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\gamma^3 (\mathbf{u} \cdot \mathbf{a})=m c^2 \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}

這公式的反微分為

K=\gamma m c^2+K_0

當粒子靜止時,動能等於零。所以,

K=\gamma m c^2 - m c^2

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量E_0\ \stackrel{def}{=}\ m c^2。動能K加上靜止能量E_0等於總能量E

E = \gamma m c^2

再加簡化,以相對論性質量m_{rel}表示:

E=m_{rel} c^2

這方程式稱為質能方程式

能量-動量關係式[编辑]

使用質能方程式E= m_{rel} c^2=\gamma m c^2,四維動量可以表示為

P^{\mu} = \left(\frac{E}{c},\, \mathbf{p} \right)

四維動量與自己的內積為

P^\mu P_\mu=\frac{E^2}{c^2} - (p)^2

改以四維速度來計算內積:

P^\mu P_\mu = m^2 U^\mu U_\mu = m^2 c^2

所以,能量-動量關係式為

 E^2 = (pc)^2 + m^2 c^4

電磁學實例[编辑]

四維電流密度[编辑]

電磁學裏,四維電流密度 J^{\mu}是一個四維向量,定義為

 J^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \rho c,\, \mathbf{j})

其中,\rho電荷密度\mathbf{j}是三維電流密度

在靜止參考系所觀測到的電荷密度,稱為固有電荷密度\rho_0=\rho/\gamma。四維電流密度與四維速度的關係為

 J^{\mu}=\rho_0 U^{\mu}

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{j}=0

這定律也能以四維電流密度表示為

\frac{\partial J^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0

從這方程式,可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢[编辑]

電磁四維勢是由電勢\phi \,矢量勢\mathbf{A}共同形成的,定義為

 A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\,  \mathbf{A})

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係[1]

\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu ;

其中,\mu_0磁常數\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) 達朗貝爾算符,又稱為四維拉普拉斯算符

四維頻率和四維波矢量[编辑]

一個平面電磁波四維頻率{\nu}^\mu定義為

{\nu}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ (f,\, f\mathbf{n})

其中,f是電磁波的頻率\mathbf{n}是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

{\nu}^\alpha {\nu}_\alpha = (f)^2 (1 - n^2) = 0

一個近單色光波包的波動性質可以用四維波矢量{K}^\alpha來描述:

{K}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{2\pi f}{c},\, \mathbf{k} \right)

其中,\mathbf{k}是三維波矢量

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

{K}^\alpha=\frac{2\pi{\nu}^\alpha}{c}

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X. 
  • Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.