四維超正方體

超正方体 （8-胞） 4-體
Schlegel diagram
類型	四维凸正多胞体
家族	立方形
維度	4
胞	8 (4.4.4)
面	24 {4}
邊	32
頂點	16
顶点图	(3.3.3)
施萊夫利符號	{4,3,3} {4,3}x{} {4}x{4} {4}x{}x{} {}x{}x{}x{}
考克斯特符号
類比	正方體
對稱群	B4, [3,3,4]
對偶多胞體	正十六胞体
特性	convex

四維超正方体（英语：tesseract）或正八胞體，是一種四維的超正方體（英语：hypercube）。在几何学中，四維超正方体是立方體的四維類比，有8個立方體胞。四維超正方体之於立方體，就如立方體之於正方形。它是四維歐式空間中6個四維凸正多胞體之一。
超正方体是一个有无穷多个成员的凸正多胞形家族的四位成员，这个家族被称为“立方形”（或称超方形、正测形），这个家族的成员与施莱夫利符号{4,3,3,……,3,3}，它们都具有类似正方形和立方体的性质，如二胞角都为90°等。 “超正方體”“超立方體”（Hypercube）這個名稱在一般的場合中特指四維的這個超正方體，不過在數學上，“超正方體”這個詞可以指n維（n>3）的任意一個立方形，因此把它和n維的其他立方形放在一起討論時，要加“四維”以示區別。

幾何性質

在四維歐幾里得空間的標準四維方體是點(±1, ±1, ±1, ±1)的凸包。它包含了點：

$\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}$

四維方體由八個超平面(x_i = ±1)包圍。兩兩非平行超平面相交，共形成四維方體的24個正方形面。每條棱有3個立方體和3個正方形相交。在每一頂點有4個立方體、6個正方形和4條棱相交。四維方體共有8個立方體、24個正方形、32條棱和16個頂點。边长为a的四维超正方体超体积是a⁴，表体积是8a³。

四維方體的每一頂點與4條棱相鄰，所以四維方體的頂點形是正四面體。所以四維方體的施萊夫利符號是{4,3,3}。其對偶多胞體是正十六胞體，施萊夫利符號是{3,3,4}。

对称群构造

作为一个超方形，超立方体可被识别为不同对称群的多胞体：首先，它是四维的超方形——一个凸正多胞体——四维超立方体，对应施莱夫利符号{4,3,3}，Coxeter-Dynkin符号为，具有考斯特BC4对称群（即超方形—正轴形对称群）构造，阶为384。同时，它也可被看作是立方体的四维棱柱，对应施莱夫利符号{4,3}×{}，Coxeter-Dynkin符号，这个对称群的阶只有96。并且，它还是四维以上高维才有的两个二维以上多胞形的欧拉乘积——复棱柱的一个，即4,4复棱柱，是两个正方形的乘积，对应施莱夫利符号{4}×{4}，Coxeter-Dynkin符号为，群阶64。它还是正四棱柱棱柱{4}×{}×{}，，群阶32。它还是线段棱柱棱柱棱柱{}×{}×{}×{}，，群阶16。

投射

四維方體不易想象，但可以投射至3維或2維空間。在2維平面的投射，把頂點位置調整後，可以了解更多。如此獲得的圖像，不再反映四維方體空間構造，而是反映頂點間的聯繫。以下給出一些例子。

第一幅圖顯示四維方體本質上從結合2個立方體，連結對應頂點得來。第二幅圖反映出四維方體每條邊等長，也可以看出立方體如何互相連結。第三幅圖按著每一頂點由最底一頂點出發沿着棱走的長度排列。

可视化

四維方體三维球面投影	四維方體三維投影動畫（單旋轉）	四維方體三維投影動畫（双旋转）
正交投影
四維方體展開圖（net） (觀看動畫)	一個 stereoscopic 四維方體之三維投影
施莱格尔投影

二维线架投影

二维正交线架投影

考克斯特平面	B4	B3 / D4 / A2	B2 / D3
图像
二面体群	[8]	[6]	[4]
考克斯特平面	（对角线投向中心）	F4	A3
图像
二面体群	[2]	[12/3]	[4]

相關槪念

括號內的為英語

• 多胞形（Polytope）
• 超正方體（Hypercube）
• 四維體（Polychoron）
• 正四維體（Convex regular polychoron）
• 規則四維體（Uniform polychoron）
• 維度（Dimension）
• 四維空間（Four-dimensional space）
• 胞（Cell）
• 五維超正方體（Penteract）

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因, Tesseract at MathWorld
• Olshevsky, George, Tesseract at Glossary for Hyperspace.
• Der 8-Zeller (8-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
• WikiChoron: Tesseract
• HyperSolids is an open source program for the Apple Macintosh (Mac OS X and higher) which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
• Hypercube 98 A Windows program that displays animated hypercubes, by Rudy Rucker
• ken perlin's home page A way to visualize hypercubes, by Ken Perlin
• Some Notes on the Fourth Dimension includes very good animated tutorials on several different aspects of the tesseract, by Davide P. Cervone
• Tesseract animation with hidden volume elimination
• A Study of Dimensions by Bill Price

四维正多胞体
正五胞体	超正方体	正十六胞体	正二十四胞体	正一百二十胞体	正六百胞体
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}