四維頻率

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，${x}^{\mu}\,\!$ 或 ${x}_{\mu}\,\!$ 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x)^2\,\!$ 表示 $x\,\!$ 平方；而 ${x}^2\,\!$ 是${x}^{\mu}\,\!$ 的第二個分量。

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 $f^{\mu}$ 以公式定義為

$f^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(f,\, f \mathbf{n} \right)$ ；

其中，$f$ 是電磁波的頻率，$\mathbf{n}$ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${f}^\mu {f}_\mu = (f)^2 (1 - n^2) = 0$ 。

類似地，四維角頻率 $\omega^{\mu}$ 以公式定義為

$\omega^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\omega,\,\omega \mathbf{n} \right)$ ；

其中，$\omega$ 是電磁波的角頻率。

顯然地，

$\omega^{\mu}=2\pi f^{\mu}$ 。

四維波向量 ${k}^{\mu}$ 與四維角頻率有密切的關係，定義為

${k}^{\mu}=\left(k,\,\mathbf{k}\right)$ ；

其中，$\mathbf{k}$ 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 $diag(1, -1, -1, -1)$ ，這是参考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 $\mathcal{S}$ 、$\overline{\mathcal{S}}$ ；相對於參考系 $\mathcal{S}$ ，參考系 $\overline{\mathcal{S}}$ 以速度 $\mathbf{v}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 $\Lambda^{\mu}_{\nu}$ 是

$\Lambda^{\mu}_{\nu}=\begin{bmatrix} \gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\ -\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\ -\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\ -\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\ \end{bmatrix}$ ；

其中，$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ 是勞侖茲因子，$\beta=\frac{v}{c}$ 是貝他因子，$\beta_x$ 、$\beta_y$ 、$\beta_z$ 分別是參考系 $\overline{\mathcal{S}}$ 對於參考系 $\mathcal{S}$ 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 $v_x$ 、$v_y$ 、$v_z$ 的貝他因子。

設定一個朝著 $\hat{\mathbf{k}}$ 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 $\mathcal{S}$ ，這平面電磁波以公式表達為

$\mathbf{E}=E_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_1$ 、

$\mathbf{B}=B_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_2$ ；

其中，$\mathbf{E}$ 、$\mathbf{B}$ 分別是電磁波的電場、磁場，$E_0$ 、$B_0$ 分別是其波幅，$k^{\mu}$ 是四維波向量，$x_{\mu}=(ct, -\mathbf{x})$ 是四維位置，$\mathbf{x}$ 是位置，$\hat{\boldsymbol{\eta}}_1$ 、$\hat{\boldsymbol{\eta}}_2$ 分別垂直於 $\hat{\mathbf{k}}$ ，而且 $\hat{\boldsymbol{\eta}}_2=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\eta}}_1$ 。

那麼，對於參考系 $\overline{\mathcal{S}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

$\overline{\mathbf{E}}=\overline{E}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_1$ 、

$\overline{\mathbf{B}}=\overline{B}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_2$ 。

四維波向量 $\overline{k}^{\mu}$ 與 ${k}^{\mu}$ 之間的關係為

$\overline{k}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}{k}^{\nu}$ 。

經過一番運算，可以求得

$\overline{k}=\overline{k}^0=\gamma(k - \beta_x k_x - \beta_y k_y - \beta_z k_z)=k^{\mu}v_{\mu}/c$ ；

其中，$v_{\mu}=(\gamma c,\, -\gamma\mathbf{v})$ 是參考系 $\overline{\mathcal{S}}$ 相對於參考系 $\mathcal{S}$ 的四維速度，$\mathbf{v}$ 是參考系 $\overline{\mathcal{S}}$ 相對於參考系 $\mathcal{S}$ 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

$f^{\mu}=c k^{\mu}/2\pi$ 。

所以，

$\overline{f}=\overline{f}^0=f^{\mu}v_{\mu}/c$ 。

這也是參考系 $\overline{\mathcal{S}}$ 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱

• 四維向量
• 電磁張量

參考文獻

• Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84–90. ISBN 1852334266. 
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.