四維頻率

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,{x}^{\mu}\,\!{x}_{\mu}\,\!。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,(x)^2\,\!表示x\,\!平方;而{x}^2\,\!{x}^{\mu}\,\!的第二個分量。

電磁學裏,平面電磁波四維頻率 f^{\mu} 以公式定義為

f^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\  \left(f,\, f \mathbf{n} \right)

其中,f 是電磁波的頻率\mathbf{n} 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

{f}^\mu {f}_\mu = (f)^2 (1 - n^2) = 0

類似地,四維角頻率 \omega^{\mu} 以公式定義為

\omega^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\omega,\,\omega \mathbf{n} \right)

其中,\omega 是電磁波的角頻率

顯然地,

\omega^{\mu}=2\pi f^{\mu}

四維波向量 {k}^{\mu} 與四維角頻率有密切的關係,定義為

{k}^{\mu}=\left(k,\,\mathbf{k}\right)

其中,\mathbf{k} 是電磁波的波向量

在本篇文章裏,閔可夫斯基度規的形式被規定為 diag(1, -1, -1, -1) ,這是参考了約翰·傑克森John D. Jackson)的著作《經典電動力學》中所採用的形式;並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定

勞侖茲變換[编辑]

給予兩個慣性參考系 \mathcal{S}\overline{\mathcal{S}} ;相對於參考系 \mathcal{S} ,參考系 \overline{\mathcal{S}} 以速度 \mathbf{v} 移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣 \Lambda^{\mu}_{\nu}[1]

\Lambda^{\mu}_{\nu}=\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\
-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\
\end{bmatrix}

其中,\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{v}{c}\right)^2}}勞侖茲因子\beta=\frac{v}{c}貝他因子\beta_x\beta_y\beta_z 分別是參考系 \overline{\mathcal{S}} 對於參考系 \mathcal{S} 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 v_xv_yv_z 的貝他因子。

設定一個朝著 \hat{\mathbf{k}} 方向傳播於真空的平面電磁波,對於參考系 \mathcal{S} ,這平面電磁波以公式表達為

\mathbf{E}=E_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_1
\mathbf{B}=B_0 e^{ - i(k^{\mu}x_{\mu})}\hat{\boldsymbol{\eta}}_2

其中,\mathbf{E}\mathbf{B} 分別是電磁波的電場磁場E_0B_0 分別是其波幅k^{\mu} 是四維波向量,x_{\mu}=(ct, -\mathbf{x})四維位置\mathbf{x} 是位置,\hat{\boldsymbol{\eta}}_1\hat{\boldsymbol{\eta}}_2 分別垂直於 \hat{\mathbf{k}} ,而且 \hat{\boldsymbol{\eta}}_2=\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\boldsymbol{\eta}}_1

那麼,對於參考系 \overline{\mathcal{S}} ,這平面電磁波以公式表達為

\overline{\mathbf{E}}=\overline{E}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_1
\overline{\mathbf{B}}=\overline{B}_0 e^{ - i(\overline{k}^{\mu}\overline{x}_{\mu})} \hat{\boldsymbol{\eta}}_2

四維波向量 \overline{k}^{\mu}{k}^{\mu} 之間的關係為

\overline{k}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}{k}^{\nu}

經過一番運算,可以求得

\overline{k}=\overline{k}^0=\gamma(k - \beta_x k_x - \beta_y k_y - \beta_z k_z)=k^{\mu}v_{\mu}/c

其中,v_{\mu}=(\gamma c,\, -\gamma\mathbf{v}) 是參考系 \overline{\mathcal{S}} 相對於參考系 \mathcal{S}四維速度\mathbf{v} 是參考系 \overline{\mathcal{S}} 相對於參考系 \mathcal{S} 的速度。

在真空裏,四維頻率與四維波向量之間的關係為

f^{\mu}=c k^{\mu}/2\pi

所以,

\overline{f}=\overline{f}^0=f^{\mu}v_{\mu}/c

這也是參考系 \overline{\mathcal{S}} 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic. 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.. 1999:  pp. 543-548, ISBN 978-0-471-30932-1 
  • Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84–90. ISBN 1852334266. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.