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四维凸正多胞体

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超立方体是6个四维凸正多胞体之一

数学中,四维凸正多胞体(Convex Regular Polychoron)是指一类既是凸的又是正的的四维多胞体。它们是柏拉图立体(正多面体)(三维)和正多边形(二维)的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现,其中五个与五个柏拉图立体一一对应,另外一个(正二十四胞体)没有好的三维类比。
每个四维凸正多胞体必须有同种的同样大小的凸正多面体胞面面相接构成,并且每个顶点周围必须有相同数量的胞。

特性[编辑]

下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性,表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群,形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群;及这个群的

名称 家族 施莱夫利
符号
顶点 顶点图 对偶 对称群
正五胞体
超棱锥
超正四面体
四维单纯形
单纯形
(n-单纯形)
{3,3,3} 5 10 10
正三角形
5
正四面体
正四面体 (自身对偶) A4 120
超正方体
正八胞体
超立方体
四维立方体
立方形
(n-立方形)
{4,3,3} 16 32 24
正方形
8
立方体
正四面体 正十六胞体 B4 384
正十六胞体
超正八面体
四维正轴形
正轴形
(n-正轴形)
{3,3,4} 8 24 32
正三角形
16
正四面体
正八面体 超正方体 B4 384
正二十四胞体
截半正十六胞体
重正八面体
{3,4,3} 24 96 96
正三角形
24
正八面体
立方体 (自身对偶) F4 1152
正一百二十胞体
超正十二面体
重正十二面体
正十二面体形 正五边形形
(n-正五边形形)
{5,3,3} 600 1200 720
正五边形
120
正十二面体
正四面体 正六百胞体 H4 14400
正六百胞体
重正四面体
超正二十面体
正二十面体形 正五边形形
(n-正五边形形)
{3,3,5} 120 720 1200
正三角形
600
正四面体
正二十面体 正一百二十胞体 H4 14400

这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面(S3)同胚的单连通多胞体,所以它们的欧拉示性数都为0,因此我们有以下欧拉公式的四维类比:

V - E + F - C = 0\,

其中V代表零维顶点数,E代表一维棱数,F代表二维面数,C代表三维胞数。

可视化[编辑]

以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影(更多图像可以在各自的页面里找到)。表头给出了多胞体的施莱夫利符号考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram

正五胞体 超正方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
皮特里多边形正对的正交线架投影.
4-simplex t0.svg 4-cube t0.svg 4-cube t3.svg 24-cell t0 F4.svg 120-cell graph H4.svg 600-cell graph H4.svg
三维固体填充正交投影
Tetrahedron.png
正四面体
凸包

(胞在前/顶点在前)
Hexahedron.png
立方体凸包
(胞在前)
16-cell ortho cell-centered.png
立方体凸包
(胞在前)
Ortho solid 24-cell.png
截半立方体
凸包

(胞在前)
Ortho solid 120-cell.png
截顶菱形
三十面体
凸包

(胞在前)
Ortho solid 600-cell.png
五角化截半
十二面体
凸包

(顶点在前)
线架施莱格尔投影 (透视投影)
Schlegel wireframe 5-cell.png
(胞在前)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(胞在前)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(胞在前)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(胞在前)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(胞在前)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
(顶点在前)
线架球极投影 (四维超球球极投影)
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

参考[编辑]

外部链接[编辑]

Wolfram Mathword中的解释

四维正多胞体
正五胞体 超正方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}