四角錐數

1 + 4 + 9 + 16 = 30 是四角錐数

在數學中，四角錐數，或金字塔數，是一個有形數表示有多少球堆積成一個金字塔(四角錐)(如右圖)，這是以正方形為基礎(底面為正方形)。

四角錐數（square pyramidal number）如右圖所示，第一層+第二層+第三層+第四層每層都是正方形數合起來是正四角錐，也就是正方形數的級數。

例： 1, 5 (=1+4), 14(=1+4+9), 30(=1+4+9+16), 55(=1+4+9+16+25)

用 cannonballs 堆成的金字塔存放在法國的斯特拉斯堡歷史博物館。 球的數量就是四角錐數, 55。

計算方式與公式

前幾個四角錐數是:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819 （OEIS中的数列A000330）.

這些數字可以表示為一個公式:

$P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.$

這是馮哈伯公式的一個特例, 並可以證明一個簡單的數學歸納法。

和其他有形數的關係

四角錐數也可以表示成二項式係數的和:

$P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}$

兩個四角錐數的總和是一個八面體數.

參見

• 四角數
• 四角錐

參考文獻和資料來源

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55. 1964:  813. ISBN 0486612724. 
• Beiler, A. H.. Recreations in the Theory of Numbers. Dover. 1964:  194. ISBN 0486210960. 
• Goldoni, G.. A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two. The Mathematical Intelligencer. 2002, 24 (4): 67–69. 
• Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002:  260–261. ISBN 0-387-95419-8. 

外部連結

• Eric W. Weisstein, Square Pyramidal Number, MathWorld.