回文数

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回文数是指一个像16461这样“对称”的,即:将这个数的数字按相反的顺序重新排列后,所得到的数和原来的数一样。这裡,“回文”是指像“妈妈爱我,我爱妈妈”这样的,正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注。一个典型的问题就是,寻找那些具有某种特性,并且符合回文特征的数。例如:

巴克敏斯特·福乐在其著作《协同学》(Synergetics)中把回文数也叫做沙拉扎数(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相的女儿的名字。

直观地,在任意的下都存在着无穷多个回文数。可以这样说明:在任意的基下,一个象101, 1001, 10001,… (即由一个1后接n个0再后接一个1)这样的数可组成一个无穷多项的序列,其各项全部都是回文数,因此这个基下的回文数有无穷多个(其中包括但不限于该序列中的无穷多个项)。

正式定义[编辑]

虽然通常是在十进制系统下来考虑回文数,但回文性的性质可推广用于任何记数系统中的自然数。考虑以 b\ (b\ge2)的数 n\ (n >0),在基 b\, 下,n\, 可按标准方式表示为 k+1\,数字 a_i\,,即:

n=\sum_{i=0}^ka_ib^i

其中,如惯例,对所有 i\, 都要求 0 \leq a_i \leq b,且 a_k \ne 0。 则 n\, 称为回文数,当且仅当对所有 i\, 都有a_i = a_{k-i}\,在任何基下均写作 0 并由定义认为它也是回文数。

另一种等价的定义如下:在任意固定的基 b\, 下,数 n\, 称为回文的当且仅当:

  • n\, 是单个数字,或
  • n\, 为两个相同数字,或
  • n\, 由三个或更多数字组成,其首位和末位数字相同,且从 n\, 中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文的。

十进制回文数[编辑]

10基数下,
所有单个数字{0123456789}都是回文数。
两位数的回文数有9个:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

三位数中有90个回文数:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

四位数中也有90个回文数:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

因此总共有199个小于104的回文数。小于105的回文数有1099个,对其它的10的整数幂10n来说,分别有:1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... (OEIS中的数列A070199)个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数(其中包括将0也作为一个回文数):

  101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n自然数 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n偶数 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n奇数 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n完全平方数 3 6 13 14 19  + +
n素数 4 5 20 113 781 5953
n因数中不含平方数的数 6 12 67 120 675  + + + + +
n为可被某平方数整除的数(即μ(n)=0) 3 6 41 78 423  + + + + +
n为素数的平方数 2 3 5
n具有偶数个相异的素因子(即μ(n)=1) 2 6 35 56 324 + + + + +
n具有奇数个相异的素因子(即μ(n)=-1) 5 7 33 65 352 + + + + +
n本身为偶数并具有奇数个素因子                    
n本身为偶数并具有奇数个相异的素因子 1 2 9 21 100 + + + + +
n本身为奇数并具有奇数个素因子 0 1 12 37 204 + + + + +
n本身为奇数并具有奇数个相异的素因子 0 0 4 24 139 + + + + +
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 2 11 15 98 + + + + +
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子 1 4 24 41 226 + + + + +
n为奇数并具有正好两个素因子 1 4 25 39 205 + + + + +
n为偶数并具有正好两个素因子 2 3 11 64 + + + + +
n为偶数并具有正好三个素因子 1 3 14 24 122 + + + + +
n为偶数并具有正好三个相异的素因子                    
n为奇数并具有正好三个素因子 0 1 12 34 173 + + + + +
n卡迈克尔数 0 0 0 0 0 1+ + + + +
n为满足σ(n)是回文数的数 6 10 47 114 688 + + + + +

其它的基数下的回文数[编辑]

也可在十进制以外的其它数系中考虑回文数。例如,在二进制中的回文数有:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001,…

以上这些数在十进制中即:0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33,…(OEIS中的数列A006995)。梅森素数构成了二进制回文素数的一个子集。

通常在一个基数下的回文数在另一个基数下就不再是回文数。例如:1646110 = 404D16。(下标的数字表示的是基数,即n16表示以十六进制写出的n)。然而,有些数字在几个基数中都是回文数(称为“协回文的”,copalindromic),例如10510在五个不同的基数下都是回文数:12214 = 1518 = 7714 = 5520 = 3334;十进制数1991在十六进制中为7C7,也是回文的。

在以18为基时,7的一些幂是回文的:

  • 73 = 111
  • 74 = 777
  • 76 = 12321
  • 79 = 1367631

对任意数n,在所有b ≥ n + 1的基数b下都是回文的(因为这时n是一个单位数);在基为n−1时同样也是回文数(因为这时n就成了11n−1)。如果對於2 ≤ b ≤ n − 2,某数在基b下都是非回文数,则称其是一个严格非回文数(Strictly non-palindromic number)。例如6在二進制是110,三進制是20,四進制是12,都不是回文數,因此它是嚴格非回文數。這樣的數其中一個特質是6以上的數都是質數。首幾項:1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, ... (OEIS:A016038)

参见[编辑]

外部链接[编辑]