除數函數

在數論上，除數函數是一類算術函數。

除數函數$\sigma_x(n)$定義為n的正因數的$x$次冪之和，即

$\sigma_x(n) = \sum_{d|n} d^x$

其中一些特殊情況：

• $\sigma_0(n)$ ：$n$的正因數的數目
• $\sigma_1(n)$ ：$n$的正因數之和（包括自己）

σ_x(n)的值

n / x	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性質

• $\sigma_x(n)$都是積性函數，但不是完全積性。
• $\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^k-1}$
• $\sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.$

參考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9