圓周率

维基百科,自由的百科全书
(重定向自圆周率
跳转至: 导航搜索
手寫體的π
直徑为1的圓的周长是π
各种各样的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

圓周率,一般以π來表示,是一個在數學物理學普遍存在的數學常數,是精確計算圓周長、圓面積、體積等幾何量的關鍵值,其定義為周長直徑的比值。\pi\,也等於圓的面積半徑平方的比值。

分析學裡,\pi \,可以嚴格定義為滿足\sin(x)=0\,的最小正實數x\,,這裡的\sin\,正弦函數(採用分析學的定義)。

发展历史[编辑]

一块产于公元前1900年的古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。同一时期的古埃及文物也表明圆周率等于分数16/9的平方,约等于3.16。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。 英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》中指出,造于公元前2500年左右的金字塔和圆周率有关。例如,金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍,正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》(Satapatha Brahmana)显示了圆周率等于分数339/108, 约等于3.139。

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似值的先河。

近似值[编辑]

  • 常用π的十進位近似值為3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944

5648566923460348610454326648213393607260249141273,另外還有由祖沖之給出的約率\frac{22}{7}密率\frac{355}{113}[1]

  • 一般教育使用的π值只取3.14或\frac{22}{7},超過3.1415926535897932384626433832795之後的位數就較少為人知了。
  • 巴比倫人曾使用六十進制的圓周率,數值為
.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。[2]
  • 2143除以22以後再開根號兩次(也就是\sqrt{\sqrt{\frac{2143}{22}}}),可以得到3.14159265...。[3]

計算及发展[编辑]

由於π的無理性,所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或\frac{22}{7}已足夠,但工程學常利用3.1416(4位有效數字)或3.14159(5位有效數字)。至於密率\frac{355}{113}(3.1415929...)則是一個易於記憶(三個連續奇數:113355),且精確至7位有效數字的分數近似值。

而在2009年末,有科學家已經用超級電腦計算出圓周率暫時計到小數點後2兆7千億個小數位。

而在2010年8月,日本男子近藤茂利用自己組裝硬盤容量達32TB電腦,計算出圓周率小數點後5兆個小數位。[4]

而在2011年10月19日,日本程序員JA0HXV宣布他已經將圓周率Pi計算到小數點後10兆位[5]

實驗時期[编辑]

公元前17世紀埃及古籍《阿美斯紙草書》(Ahmes,又稱“阿梅斯草片文書”;為英國人Alexander Henry Rhind(萊茵德)於1858年發現,因此還稱“萊茵德紙草書” Rhind Papyrus)是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值,為256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。这部纸草书声称是抄自300年前的另一部文献,也就是说,这个Pi值是公元前1850年(1850 BC)就存在了。

阿基米德以前,π值的測定依靠實物測量。

幾何法時期——反覆割圓[编辑]

阿基米德用正96邊形割圓術得出圓周率介于3\frac{1}{7}3\frac{10}{71}之間。

公元263年,中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率,他先從圓內接正六邊形,逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。」(分割愈精細,誤差愈少。分割之後再分割,直到不能再分割為止,它就會與圓周完全重疊,就不會有誤差了),其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值,並以{157 \over 50}=3.14(徽率)為其分數近似值。刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小[6]。于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率={3927 \over 1250} =3.1416 [7]

中國古籍云:「徑一周三」[8],意即取π=3 。公元466年,中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後7位的精確度,這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時,祖沖之給出了{355 \over 113}(密率)這個很好的分數近似值,它是分母小於16604的分数中最接近π的[9]。(参见有理逼近)。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻,日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”,簡稱“祖率”。在祖冲之后的印度数学家阿耶波多获得 62832/20000 = 3.1416;分子、分母都比祖冲之的密率大,结果却不如密率准确。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚,後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。

錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》:「古之九數,圓周率三圓徑率一,其術疏舛,自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒,各設新率,未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率,以圓徑一億為一丈,圓周盈數三(刻本作二,誤)丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽,朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽,正數在盈朒二限之間,密率圓徑一百一十三,圓週三百五十五,約率圓徑七,周二十二。又設開差冪、開差立,兼以正圓參之,指要精密,算氏之最者也。」

分析法時期——[编辑]

這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算,開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。

魯道夫·范·科伊倫(約1600年)計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪,因而命人把它刻在自己的墓碑上。

斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位,其中只有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。

所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速算法由數學家梅欽在1706年提出:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

其中arctan(x)可由泰勒級數算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。

電腦時代[编辑]

上萬位以上的小數位值通常利用高斯-勒讓德算法波溫算法;另外以往亦曾使用於1976年發現的薩拉明-布倫特算法

第一個π和1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年9月得出的1,241,100,000,000個小數位,由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦,以每秒200億運算速度得出,比舊紀錄多算出一倍(206億小數位)。此紀錄由以下梅欽類公式得出:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982年)
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896年)

實際上生活中我們也用不到這麼多位數,但這有助於超級電腦的測試。

1996年,David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普勞夫發現了π的其中一個無窮級數:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

以上述公式可以計算π的第n二進位十六進位小數,而不需先計算首n-1個小數位。此類π算法稱為贝利-波尔温-普劳夫公式。請參考Bailey's website 上相關程式

法布里斯·贝拉於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP算法:

\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)

請參考Fabrice Bellard's PI page

其他計算圓周率的公式包括:

 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} (拉馬努金Ramanujan)
 \frac{1}{\pi} = 12 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k (6 k)!(13591409+545140134 k) }{(3 k)!  (k!)^3 640320^{3 k+\frac{3}{2}}} (David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)
\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6k)!\ (545140134k + 13591409)} { (k!)^3\ (3k)!\ (-640320)^{3k}}}
 \pi = 4 \prod_{k=1}^\infty \left[1 - \frac{1} {(2k+1)^2}\right]

編寫電腦程式時,也可以利用反三角函數直接定義\pi值,但是編譯器必須具備三角函數的函式庫:
利用正弦函數

\sin\left(\pi / 2 \right)=1
\pi=2*\arcsin\left(1 \right)

利用餘弦函數

\cos\left(\pi \right)=-1
\pi=\arccos\left(-1 \right)

计算机代数系统[编辑]

多种计算机代数系统软件都可以计算高精度圆周率。

例如 Maple

evalf(Pi,100000)

Intel Core i7处理器电脑上20秒内算出一百万位圆周率数值。

年表[编辑]

特性和相關公式[编辑]

幾何[编辑]

若圓的半徑為r,則其周长為C = 2πr
若圓的半徑為r,則其面積為Sr2
橢圓的長、短兩軸分別為ab ,則其面積為S = πab
球體的半徑為 r,則其體積V = (4/3)πr3
若球體的半徑為r,則其表面積S = 4πr2
:180相等於π弧度

环面的体积和表面积公式

A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,

R是管子的中心到环面的中心的距离, r是圆管的半径。

代數[编辑]

π是個無理數,即不可表達成兩個整數之比,是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年,Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數,即不可能是任何有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性,因所有尺規作圖只能得出代數數,而超越數不是代數數

數學分析[编辑]

 \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (Leibniz定理)
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (Wallis乘積)
 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}(由歐拉证明,参见巴塞尔问题)


 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
 n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (斯特林公式)
 e^{\pi i} + 1 = 0\; (歐拉公式)

π有個特別的連分數表示式:

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}

π本身的連分數表示式(簡寫)為[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...],其近似部分給出的首三個漸近分數

 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}
 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}
 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}

第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明,這樣得到的漸近分數,在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中,其值是最接近精確值的近似值。

(另有12個表達式見於[2] )

數論[编辑]

兩個任意自然數是互質概率\frac{6}{\pi^2}
一個任意整數平均可用\frac{\pi}{4}個方法寫成兩個完全平方數之和。

概率論[编辑]

取一枚長度為l的針,再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放,讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的概率是圓周率的倒數(泊松針)。曾經有人以此方法來尋找π的值。

動態系統/遍歷理論[编辑]

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}
對[0, 1]中幾乎所有x0,其中 xi是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。

物理學[编辑]

 \Delta x \Delta p  \ge \frac{h}{4\pi} (海森堡不确定性原理)

 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} (相對論的場方程)

統計學[编辑]

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} (此為常態分配機率密度函數

高精度π的應用[编辑]

一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π,因為40位精確度的π已經足以計算誤差小於一個質子大小的銀河系圓周。現今精度高π應用於電腦軟硬件的測試,以不同的算法計算π而結果誤差大代表電腦系統可能出問題。[13] [14]

尚待解決的問題[编辑]

關於π未解決的問題包括:

  • 它是否是一個正規數,即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列。對於二進位運算式,在2000年Bailey及Crandall借助贝利-波尔温-普劳夫公式,证明了π的2-正规性可以由一个有关混沌理论的合理但尚未证明的猜想导出。[15] [16]
  • 0, ..., 9 是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中。若然,則對於非十進位運算式,亦應有類似特質。
  • 究竟是否所有 0, ..., 9 都會無窮地在π的小數運算式中出現。
  • \pi^\sqrt{2}ln(\pi)\pi+e等(e为另一个数学常数無理數)是否为無理數。

批评[编辑]

近年来,有部分学者认为约等于3.14的π“不合自然”,应该用双倍于π、约等于6.28的一个常数代替。支持这一说法的学者认为在很多数学公式2π很常见,很少单独使用一个π。美国哈佛大学物理学教授的迈克尔·哈特尔称“圆形与直径无关,而与半径相关,圆形由离中心一定距离即半径的一系列点构成”。并建议使用希腊字母τ来代替π[17][18][19]

美国数学家鲍勃·帕莱(Bob Palais)于2001年在《数学情报》(The Mathematical Intelligencer)上发表了一篇题为《π 是错误的!》(π Is Wrong!)的论文。在论文的第一段,鲍勃·帕莱说道:

几个世纪以来,π 受到了无限的推崇和赞赏。数学家们歌颂 π 的伟大与神秘,把它当作数学界的象征;计算器和编程语言里也少不了 π 的身影;甚至有 一部电影 就直接以它命名⋯⋯但是,π 其实只是一个冒牌货,真正值得大家敬畏和赞赏的,其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数。

美国数学家麦克·哈特尔(Michael Hartl) 建立了网站 tauday.com ,呼吁人们用希腊字母 τ(发音:tau)来表示“正确的”圆周率 C/r。并建议大家以后在写论文时,用一句“为方便起见,定义 τ = 2π ”开头。

著名的 Geek 漫画网站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ,里边有一篇洋洋洒洒数千字的 π 宣言,宣称圆周率定义为周长与直径之比有优越性,並認為在衡量圆柱形物体的截面大小时,直径比半径更方便测量,想要反駁擁護τ的言論。

文化[编辑]

背誦[编辑]

圆周率背诵世界记录的趋势

世界記錄是100,000位,日本人原口證於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100,000位。[20]

普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒,爾樂苦煞吾,把酒吃,酒殺爾,殺不死,樂而樂」,就是3.1415926535897932384626。 另一諧音為:「山巔一石一壺酒,二侶舞仙舞,罷酒去舊衫,握扇把市溜」,就是3.14159265358979323846。

英文,會使用英文字母的長度作為數字,例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.1415926535897932384626433832795。

數學外的用途[编辑]

  • Google公司2005年的一次公開募股中,集資額不是通常的整頭數,而是$14,159,265,這當然是由π小數點後的位數得來。(順便一提,谷歌公司2004年的首次公開募股,集資額為$2,718,281,828,與數學常數e有關)
  • 排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數,使之越來越接近π的值:3.1,3.14,……當前的最新版本號是3.1415926
  • 3月14日為美國所訂的圓周率日

圓周率近似值[编辑]

注釋[编辑]

  1. ^ 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉
  2. ^ 60進制下60個小數位的圓周率
  3. ^ 葛登能-打開魔數箱
  4. ^ 日男砌機 計圓周率小數點5萬億位
  5. ^ [1]
  6. ^ “周得一百五十七,徑得五十,則其相與之率也。周率猶為微少也”。
  7. ^ “……徑得一千二百五十,周得三千九百二十七,即其相與之率。”
  8. ^ 周髀算經》注中, 趙爽指出「圓徑一而周三,方徑一而匝四」。
  9. ^ \frac{52163}{16604}=3.1415923874才比祖率略准。
  10. ^ 10.0 10.1 \pie》,夏道行,商務印書館,第10頁,ISBN 962-07-2007-5
  11. ^ 筑波大學計算科学研究中心准教授,以超級電腦T2K筑波システム耗費73小時36分計算而得
  12. ^ Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05]. 
  13. ^ The Quest for Pi
  14. ^ Pi goes on forever
  15. ^ Weisstein, Eric W. Normal Number. MathWorld. 2005-12-22 [2007-11-10]. 
  16. ^ Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 2001-07-23 [2007-11-10]. 
  17. ^ 有学者认为圆周率定义不合理 要求改为6.28. 网易. 2011-6-30 [2011-6-30] (中文(中国大陆)‎). 
  18. ^ Landau, Elizabeth. On Pi Day, is 'pi' under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011]. 
  19. ^ Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011]. 
  20. ^ The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?

相關條目[编辑]

外部連接[编辑]