圆幂定理

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圆幂定理平面几何中的一个定理

定义[编辑]

一点P对半径RO定义如下:

OP^2 - R^2

所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。

定理叙述[编辑]

平面几何中的相交弦定理指出,若P为在圆内的一点,且AB、CD相交于点P,则有:

AP \cdot PB = CP \cdot PD

此时,它们的乘积是P点的幂的相反数(因为幂为非正数,而线段的乘积为正数)

平面几何中的切割线定理及其推论割线定理指出,若P为在圆外的一点,且切(割)线A(B)P与切(割)线C(D)P相交于点P,则有:

AP \cdot PB = CP \cdot PD

其中若有一条割线为切线,则称为切割线定理;若两条割线均为切线,则称为切线长定理:

AP^2 = CP^2 (A,C为切点),即 AP = CP

此时,它们的乘积恰等于P点的幂。

因此,可将以上关于圆的比例线段的定理整合为一,即圆幂定理

对于半径为R的定圆O,若有两直线与该圆分别交于A、B和C、D,且彼此相交于点P,则有:

AP \cdot PB = CP \cdot PD = \color{Red}|OP^2-R^2|