圆柱体

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一个直圆柱

数学上,圆柱(古稱圓堡壔圓囷[1],英語:cylinder)是一个二次曲面,也就是说,一个三维曲面,满足以下直角坐标系中的方程:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

这个方程是用于椭圆柱的,是对于普通圆柱a=b)的一个推广。更一般的是柱体——横截面可以是任何曲线

圆柱是一个退化二次曲面,因为至少有一个坐标(这里就是z)不出现在方程中。在有些定义中,圆柱面根本不视为二次曲面。

在日常使用中,圆柱指一个直圆柱的有限段,其两端闭合形成圆形表面,如右图所示。若圆柱半径r,长度为h,则它的体积

V = \pi r^2 h \,

九章算術記載的公式是:「周自相乘,以高乘之,十二而一。」

而它的表面积

A = 2\pi r ( r + h ) \,

对于给定的体积,最小表面积的圆柱满足h = 2r。对于给定的表面积,最大体积的圆柱也满足h = 2r

也有几种不太常見的圆柱类型。这些是虚椭圆柱

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1

双曲柱面

\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

以及抛物柱面

x^2 + 2y = 0 \,