圓周率

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如果一個圓的直徑是1，它的圓周便是 π

手寫體的 π

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數，其定義為圓形之周長與直徑之比。π也等於圓形之面積與半徑平方之比，而且是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何量的關鍵值。

在分析學裡，π可以嚴格地定義為滿足 $sin(x) = 0$ 的最小正實數 $x$ ，這裡的 $sin()$ 是正弦函數（採用分析學的定義）。

數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
負數
 整數 $\mathbb{Z}$
分数
 二进分数
 单位分数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理數 $\mathbb{Q}$
無理數
 二次无理数
 正规数
 實數 $\mathbb{R}$
虛數
 複數 $\mathbb{C}$
高斯整数
 艾森斯坦整数
 代數數
 代数整数
 规矩数
 超越數

延伸

雙複數
 超複數
 四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
 複四元數
 八元數 $\mathbb{O}$
十六元數
 Tessarine
超數
 大實數
 超實數
 上超實數
 各種超實數

其他

对偶数
 公稱值
 雙曲複數 $\mathbb{R}^{1,1}$
序列號
 超限數
 序數
 基數
 質數
 同餘
 P進數
 規矩數
 可計算數
 整數序列
 數學常數
 大數
圓周率 π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
虛數單位 $i 2 = - 1$
無窮 ∞

[编辑] 近似值

常用π(ㄆㄞ)的十進位近似值為3.1415926，另外還有由祖沖之給出的約率： $\frac{22}{7}$ 及密率： $\frac{355}{113}$ ^[1]。

[编辑] π的計算及歷史

由於π的超越性，所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或 $\frac{22}{7}$ 已足夠，但工程學常利用3.1416（5位有效數字）或3.14159（6位有效數字）。至於密率 $\frac{355}{113}$ 則是一個易於記憶（三個連續奇數：113355），且精確至7位有效數字的分數近似值。

[编辑] 實驗時期

中國古籍云：「周三徑一」^[2]，意即取 π=3。西元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱“阿梅斯草片文書”；為英國人Alexander Henry Rhind（萊茵德）於1858年發現，因此還稱“萊茵德紙草書” Rhind Papyrus）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。

至阿基米德之前，π值之測定倚靠實物測量。

[编辑] 幾何法時期——反覆割圓

阿基米德用正96邊形割圓術得出圓周率介乎 $3\frac{1}{7}$ 與 $3\frac{10}{71}$ 之間。

西元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」（分割愈精細，誤差愈少。分割之後再分割，直到不能再分割為止，它就會與圓周完全重疊，就不會有誤差了），其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，並以 ${157 \over 50}=3.14$ （徽率）為其分數近似值。

西元466年，中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後7位的精確度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時，祖沖之給出了 ${355 \over 113}$ （密率）這個很好的分數近似值，它是分母小於10,000的簡單分數中最接近π的。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚，後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。

錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》：「古之九數，圓周率三圓徑率一，其術疏舛，自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三（刻本作二，誤）丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間，密率圓徑一百一十三，圓週三百五十五，約率圓徑七，周二十二。又設開差冪、開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。」

[编辑] 分析法時期——無窮級數

這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。

Ludolph van Ceulen（約1600年）計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。

所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速算法由 Machin 提出：

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

其中arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方法稱為“類Machin算法”。

[编辑] 計算器時代

上萬位以上的小數位值通常利用Gauss-Legendre算法或Borweins算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent算法。

第一個π和 1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦，以每秒200億運算速度得出，比舊紀錄多算出一倍（206億小數位）。此紀錄由以下類Machin演算法得出：

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982年)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896年)

這麼多的小數位沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了π的其中一個無窮級數：

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

以上述公式可以計算π的第n個二進位或十六進位小數，而不需先計算首n-1 個小數位。此類π算法稱為Bailey-Borwein-Plouffe算法。請參考 Bailey's website 上相關程式。

Fabrice Bellard於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP算法：

$\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)$

請參考 Fabrice Bellard's PI page 。

其他計算圓周率的公式包括：

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (拉馬努金 Ramanujan)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)

$\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6n)!\ (545140134n + 13591409)} { (n!)^3\ (3n)!\ (-640320)^3n}}$ [1]

編寫電腦程式時，也可以利用反三角函數直接定義 $π$ 值，但是編譯器必須具備三角函數的函式庫：
利用正弦函數

$\sin\left(\pi / 2 \right)=1$

$\pi=2*\arcsin\left(1 \right)$

利用餘弦函數

$\cos\left(\pi \right)=-1$

$\pi=\arccos\left(-1 \right)$

[编辑] 年表

日期	計算者	π的值 (世界紀錄用粗體表示)
前20世紀	巴比倫人	25/8 = 3.125
前20世紀	埃及人Rhind Papyrus	(16/9)² = 3.160493...
前12世紀	中國	3
前6世紀中	聖經列王記上7章23節	3
前434年	阿那克薩哥拉嘗試通過尺規作圖來化圓為方
前3世紀	阿基米德	223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163...
前20年	Vitruvius	25/8 = 3.125
前50年－23年	劉歆	3.1547^[3]
130年	張衡	92/29 = 3.17241...^[3] √10 = 3.162277...
150年	托勒密	377/120 = 3.141666...
250年	王蕃	142/45 = 3.155555...
263年	劉徽	3.14159
480年	祖沖之	3.1415926 <π< 3.1415927/3.1415929......
499年	Aryabhatta	62832/20000 = 3.1416
598年	Brahmagupta	√10 = 3.162277...
800年	花拉子密	3.1416
12世紀	Bhaskara	3.14156
1220年	比薩的列奧納多	3.141818
1400年	Madhava	3.1415926359
以後的紀錄都僅記錄小數點後多少位，而不給出實際數值
1424年	Jamshid Masud Al Kashi	16位小數
1573年	Valenthus Otho	6位小數
1593年	Francois Viete	9位小數
1593年	Adriaen van Roomen	15位小數
1596年	Ludolph van Ceulen	20位小數
1615年	Ludolph van Ceulen	32位小數
1621年	Willebrord Snell (Snellius), Van Ceulen 的學生	35位小數
1665年	牛頓	16位小數
1699年	Abraham Sharp	71位小數
1700年	Seki Kowa	10位小數
1706年	John Machin	100位小數
1706年	William Jones引入希臘字母 π
1730年	Kamata	25位小數
1719年	De Lagny計算了 127 個小數位，但並非全部是正確的	112位小數
1723年	Takebe	41位小數
1734年	萊昂哈德•歐拉引入希臘字母 π並肯定其普及性
1739年	Matsunaga	50位小數
1761年	Johann Heinrich Lambert證明π是無理數
1775年	歐拉指出π是超越數的可能性
1789年	Jurij Vega 計算了 140 個小數位，但並非全部是正確的	137位小數
1794年	Adrien-Marie Legendre證明π²是無理數（則π也是無理數），並提及π是超越數的可能性
1841年	Rutherford 計算了 208 個小數位，但並非全部是正確的	152位小數
1844年	Zacharias Dase及Strassnitzky	200位小數
1847年	Thomas Clausen	248位小數
1853年	Lehmann	261位小數
1853年	Rutherford	440位小數
1853年	William Shanks	527位小數
1855年	Richter	500位小數
1874年	William Shanks耗費 15 年計算了707位小數，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對	527位小數
1882年	Lindemann證明π是超越數（林德曼-魏爾斯特拉斯定理）
1946年	D. F. Ferguson 使用桌上計算器	620位小數
1947年		710位小數
1947年		808位小數
1949年	J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算π，以後的記錄都用電腦來計算的	2,037位小數
1953年	Mahler證明π不是劉維爾數
1955年	J. W. Wrench, Jr, 及 L. R. Smith	3,089位小數
1961年		100,000位小數
1966年		250,000位小數
1967年		500,000位小數
1974年		1,000,000位小數
1992年		2,180,000,000位小數
1995年	金田康正	> 6,000,000,000位小數
1999年	金田康正和Takahashi	> 206,000,000,000位小數
2002年	金田康正的隊伍	>1,241,100,000,000位小數

[编辑] π的特性和相關公式

幾何：

若圓的半徑為r，則其圓周為C = 2πr

若圓的半徑為r，則其面積為A =πr²

若橢圓的長、短兩軸分別為a 和 b ，則其面積為A = πab

若球體的半徑為 r，則其體積為 V = (4/3)πr³

若球體的半徑為r，則其表面積為 A = 4πr²

角：180度相等於π弧度

[编辑] 代數

π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數，即不可能是任何有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。

[编辑] 數學分析

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ (Leibniz 定理)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$ (Wallis乘積)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (歐拉)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (斯特林公式)

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (歐拉公式)

π有個特別的連分數表示式：

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

π本身的連分數表示式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數

$3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}$

第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。

(另有 12 個表達式見於 [2] )

[编辑] 數論

兩個任意自然數是互質的概率是 6/π²。

任取一個任意整數，該整數沒有重複質因數的概率為 6/π²。

一個任意整數平均可用 π/4 個方法寫成兩個完全數之和。

[编辑] 概率論

取一枚長度為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的概率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找π的值。

[编辑] 動態系統 / 遍歷理論

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$

對[0, 1]中幾乎所有x₀，其中 x_i 是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。

[编辑] 物理學

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ (海森堡測不準原理)

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$ (相對論的場方程)

[编辑] 統計學

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}$ }- （此為常態分配的機率密度函數）

[编辑] 尚待解決的問題

關於π未解決的問題包括

它是否是一個正規數，即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列

？對於二進位運算式，答案是肯定的，這是Bailey及Crandall於2000年從 Bailey-Borwein-Plouffe 方程的存在而引申出來的。

0,...,9是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中？若然，則對於非十進位運算式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無窮地在π的小數運算式中出現？
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確？

[编辑] 圓周率的值

雖然圓周率已經被算出小數點後1,241,100,000,000個小數位，但因為實在太多了，所以一般教育教授的π值只取3.14（日本省略成3），超過3.14159265358979323846264338327950288之後的位數就較鮮為人知了。

[编辑] 文化

[编辑] 背誦π的位數

世界記錄是100000位，日本人原口証於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。

普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂」，就是3.1415926535897932384626。

在英文，會使用英文字母的長度作為數字，例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.1415926535897932384626433832795。

[编辑] π在數學外的用途

在Google公司 2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926
3月14日為圓周率日

[编辑] 注釋

^ 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉
^ 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。
^ ^3.0 ^3.1 《 $π$ 和e》，夏道行，商務印書館，第10頁，ISBN 962 07 2007 5

[编辑] 相關條目

[编辑] 外部連接

尋找π值的計畫
百萬圓周率 π的小數點後前1百萬位
前1.2百萬位元中的部分資料
將π前一萬位元化作音樂旋律
SuperPI 計算π值的軟體，電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度(日文)
計算圓周率
PiFast 個人電腦上最快的計算π值軟體，是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。
用大炮求圓周率：以蒙特卡羅演算法，利用圓的面積求圓周率。

[_note-0] 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉

[_note-1] 《周髀算經》注中，趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。

[_note-pi.26e-2] 3.0 ^3.1 《 $π$ 和e》，夏道行，商務印書館，第10頁，ISBN 962 07 2007 5

[1]

[2]

[3]

查 • 論 • 編 • 歷几何术语
點	頂點 \| 交點 \| 中點 \| 角
直線和曲線	線段 \| 射線 \| 直線 \| 切線 \| 法线 \| 曲線 \| 圓錐曲線 \| 双曲线 \| 抛物线 \| 螺線 \| 邊 \| 周界 \| 弦
平面圖形	圓 \| 橢圓 \| 扇形 \| 弓形 \| 多邊形 \| 三角形 \| 四邊形 \| 五边形 \| 六边形 \| 梯形 \| 平行四邊形 \| 菱形 \| 矩形 \| 正方形 \| 鷂形
立體圖形	多面體 \| 正多面體 \| 長方體 \| 立方體 \| 圓柱體 \| 四面体 \| 平行六面体 \| 棱柱 \| 反棱柱 \| 棱錐 \| 圓錐 \| 圓台 \| 橢球 \| 球體 \| 球缺 \| 球冠 \| 二次曲面 \| 抛物面 \| 雙曲面
圖形關係	相似 \| 全等 \| 对称 \| 平行 \| 垂直 \| 相邻 \| 相交 \| 相切 \| 镜像 \| 旋转 \| 反演
三角形關係	相似三角形 \| 全等三角形
量	距離 \| 長度 \| 周长 \| 高度 \| 面積 \| 表面積 \| 體積 \| 角度
作圖	尺子（直尺） \| 圓規 \| 尺規作圖
理論	定理 \| 公理 \| 定义 \| 證明

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