圓周率

手寫體的π

直徑为1的圓的周长是π

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何量的關鍵值，其定義為圓的周長与直徑的比值。$\pi\,$也等於圓的面積與半徑平方的比值。

在分析學裡，$\pi \,$可以嚴格定義為滿足$\sin(x)=0\,$的最小正實數$x\,$，這裡的$\sin\,$是正弦函數（採用分析學的定義）。

近似值

3. 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647 093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559 644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165 271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360 011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953 092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724 891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737 190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901 224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960 864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951 059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035 261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532 171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863 278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891 249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855 889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012 858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379 774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104 752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263 914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030 286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955 321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426 542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192 173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468 438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184 272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383 827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896 084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945 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762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658 213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915 441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785 376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729 360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579 787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800 700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407 854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235 808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594 130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454 779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901 938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412 147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043 063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114 654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832 716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296 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• 常用π的十進位近似值為3.1415926535897932384626433832075028841971693993751，另外還有由祖沖之給出的約率：$\frac{22}{7}$及密率：$\frac{355}{113}$。
• 一般教育使用的π值只取3.14或$\frac{22}{7}$。
• 巴比倫人曾使用六十進制的圓周率，數值為

.8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。

計算及歷史

由於π的無理性，所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或$\frac{22}{7}$已足夠，但工程學常利用3.1416（5位有效數字）或3.14159（6位有效數字）。至於密率$\frac{355}{113}$（3.1415929...）則是一個易於記憶（三個連續奇數：113355），且精確至7位有效數字的分數近似值。

而在2009年末，有科學家已經用超級電腦計算出圓周率暫時計到小數點後2兆7千億個小數位。

而在2010年8月，日本男子近藤茂利用自己組裝硬盤容量達32TB的電腦，計算出圓周率小數點後5兆個小數位。

而在2011年10月19日，日本程序員JA0HXV宣布他已經將圓周率Pi計算到小數點後10兆位

實驗時期

中國古籍云：「徑一周三」，意即取π=3。

公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱“阿梅斯草片文書”；為英國人Alexander Henry Rhind（萊茵德）於1858年發現，因此還稱“萊茵德紙草書” Rhind Papyrus）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。这部纸草书声称是抄自300年前的另一部文献，也就是说，这个Pi值是公元前1850年（1850 BC）就存在了。

在阿基米德以前，π值的測定依靠實物測量。

幾何法時期——反覆割圓

阿基米德用正96邊形割圓術得出圓周率介于$3\frac{1}{7}$與$3\frac{10}{71}$之間。

公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓內接正六邊形，逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」（分割愈精細，誤差愈少。分割之後再分割，直到不能再分割為止，它就會與圓周完全重疊，就不會有誤差了），其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值，並以${157 \over 50}=3.14$（徽率）為其分數近似值。刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率$={3927 \over 1250} =3.1416$。

公元466年，中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後6位的精確度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時，祖沖之給出了${355 \over 113}$（密率）這個很好的分數近似值，它是分母小於16604的分数中最接近π的。（参见有理逼近）。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。在祖冲之后的印度数学家阿耶波多获得 62832/20000 = 3.1416；分子、分母都比祖冲之的密率大，结果却不如密率准确。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚，後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。

錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》：「古之九數，圓周率三圓徑率一，其術疏舛，自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三（刻本作二，誤）丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間，密率圓徑一百一十三，圓週三百五十五，約率圓徑七，周二十二。又設開差冪、開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。」

分析法時期——無窮級數

這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。

魯道夫·范·科伊倫（約1600年）計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位，其中只有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。

所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速算法由數學家梅欽在1706年提出：

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

其中arctan(x)可由泰勒級數算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。

電腦時代

上萬位以上的小數位值通常利用高斯-勒讓德算法或波溫算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的薩拉明-布倫特算法。

第一個π和1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年9月得出的1,241,100,000,000個小數位，由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦，以每秒200億運算速度得出，比舊紀錄多算出一倍（206億小數位）。此紀錄由以下梅欽類公式得出：

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982年)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896年)

這麼多的小數位沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普勞夫發現了π的其中一個無窮級數：

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

以上述公式可以計算π的第n個二進位或十六進位小數，而不需先計算首n-1個小數位。此類π算法稱為贝利－波尔温－普劳夫公式。請參考Bailey's website 上相關程式。

法布里斯·贝拉於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP算法：

$\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)$

請參考Fabrice Bellard's PI page 。

其他計算圓周率的公式包括：

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (拉馬努金Ramanujan)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)

$\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6n)!\ (545140134n + 13591409)} { (n!)^3\ (3n)!\ (-640320)^3n}}$[2]

編寫電腦程式時，也可以利用反三角函數直接定義$\pi$值，但是編譯器必須具備三角函數的函式庫：
利用正弦函數

$\sin\left(\pi / 2 \right)=1$

$\pi=2*\arcsin\left(1 \right)$

利用餘弦函數

$\cos\left(\pi \right)=-1$

$\pi=\arccos\left(-1 \right)$

计算机代数系统

多种计算机代数系统软件都可以计算高精度圆周率。

例如 Maple

evalf(Pi,100000)

在Intel Core i7处理器电脑上10秒钟内算出十万位圆周率数值。

年表

日期	計算者	π的值 （世界紀錄用粗體表示）
前20世紀	埃及人Rhind Papyrus	（16/9）² = 3.160493...
前19世紀	巴比倫人	25/8 = 3.125
前12世紀	中國人	3
前9世紀	印度人Shatapatha Brahmana	339/108 = 3.138888...
前6世紀中	聖經列王記上7章23節	3
前434年	阿那克薩哥拉嘗試通過尺規作圖來化圓為方
約前250年	阿基米德	223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163491...
前20年	Vitruvius	25/8 = 3.125
前50年－23年	劉歆	3.1547
130年	張衡	92/29 = 3.17241... √10 = 3.162277... 730/232 = 3.146551...
150年	托勒密	377/120 = 3.141666...
250年	王蕃	142/45 = 3.155555...
263年	劉徽	3.141024 < π < 3.142104 3927/1250=3.1416
400年	何承天 (南朝)	111035/35329 = 3.142885...
480年	祖沖之	3.1415926 <π< 3.1415927 355/113=3.1415929......
499年	Aryabhatta	62832/20000 = 3.1416
640年	Brahmagupta	√10 = 3.162277...
800年	花拉子密	3.1416
1150年	Bhaskara	3.14156
1220年	比薩的列奧納多	3.141818
以後的紀錄都僅記錄小數點後多少位，而不給出實際數值
1400年	Madhava發現π的無窮冪級數，現在稱為萊布尼茲公式	11位小數 13位小數
1424年	Jamshid Masud Al Kashi	16位小數
1573年	Valenthus Otho，算出來的數值為355/113	6位小數
1579年	Francois Viete	9位小數
1593年	Adriaen van Roomen	15位小數
1596年	魯道夫·范·科伊倫	20位小數
1615年		32位小數
1621年	威理博·司乃耳, 范·科伊倫的學生	35位小數
1665年	牛頓	16位小數
1681年	關孝和	11位小數 16位小數
1699年	Abraham Sharp	71位小數
1700年	Seki Kowa	10位小數
1706年	John Machin	100位小數
1706年	William Jones引入希臘字母π
1719年	De Lagny計算了127個小數位，但並非全部是正確的	112位小數
1722年	Toshikiyo Kamata	24位小數
1722年	Takebe	41位小數
1739年	Matsunaga	50位小數
1748年	萊昂哈德·歐拉引入希臘字母π並肯定其普及性
1761年	約翰·海因里希·蘭伯特證明π是無理數
1775年	歐拉指出π是超越數的可能性
1794年	Jurij Vega 計算了140個小數位，但並非全部是正確的	137位小數
1794年	阿德里安-馬里·勒讓德證明π²是無理數（則π也是無理數），並提及π是超越數的可能性
1841年	Rutherford計算了208個小數位，但並非全部是正確的	152位小數
1844年	Zacharias Dase及Strassnitzky計算了205個小數位，但並非全部是正確的	200位小數
1847年	Thomas Clausen計算了250個小數位，但並非全部是正確的	248位小數
1853年	Lehmann	261位小數
1853年	Rutherford	440位小數
1855年	Richter	500位小數
1874年	en:William Shanks耗費15年計算了707位小數，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對	527位小數
1882年	Lindemann證明π是超越數（林德曼-魏爾斯特拉斯定理）
1910年	Srinivasa Ramanujan發現幾個π的快速收斂無窮級數。
1946年	D. F. Ferguson使用桌上計算器	620位小數
1947年	伊萬·尼雲給了一個非常初等的π是無理數的證明。
1947年1月	D. F. Ferguson使用桌上計算器	710位小數
1947年9月		808位小數
1949年	D. F. Ferguson和J. W. Wrench爵士使用桌上計算器	1,120位小數
1949年	J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算π，以後的記錄都用電腦來計算的	2,037位小數
1953年	Mahler證明π不是劉維爾數
1954年	J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith	3,092位小數
1957年	G.E.Felton	7,480位小數
1958年1月	Francois Genuys	10,000位小數
1958年5月	G.E.Felton	10,020位小數
1959年	Francois Genuys	16,167位小數
1961年	IBM 7090電晶體計算機	20,000位小數
1961年	Daniel Shanks和John Wrench	100,265位小數
1966年	Jean Guilloud和J. Filliatre	250,000位小數
1967年	Jean Guilloud和M. Dichampt	500,000位小數
1973年	Jean Guilloud和Martin Bouyer	1,001,250位小數
1981年	Kazunori Miyoshi和金田康正	2,000,036位小數
1981年	Jean Guilloud	2,000,050位小數
1982年	Yoshiaki Tamura	2,097,144位小數
1982年	Yoshiaki Tamura和金田康正	4,194,288位小數
1982年		8,388,576位小數
1983年	金田康正，Sayaka Yoshino和Yoshiaki Tamura	16,777,206位小數
1983年10月	Yasunori Ushiro和金田康正	10,013,395位小數
1985年10月	Bill Gosper	17,526,200位小數
1986年1月	David H. Bailey	29,360,111位小數
1986年	金田康正	33,000,000位小數
1986年		67,000,000位小數
1987年		134,000,000位小數
1988年		201,000,000位小數
1989年	楚諾維斯基兄弟	480,000,000位小數
1989年		535,000,000位小數
1989年	金田康正	536,000,000位小數
1989年	楚諾維斯基兄弟	1,011,000,000位小數
1989年	金田康正	1,073,000,000位小數
1992年		2,180,000,000位小數
1994年	楚諾維斯基兄弟	4,044,000,000位小數
1995年	金田康正和高橋	4,294,960,000位小數
1995年		6,000,000,000位小數
1996年	楚諾維斯基兄弟	8,000,000,000位小數
1997年	金田康正和高橋	51,500,000,000位小數
1999年		68,700,000,000位小數
1999年		206,000,000,000位小數
2002年	金田康正的隊伍	1,241,100,000,000位小數
2009年	高橋大介	2,576,980,370,000位小數
2009年	法布里斯·貝拉	2,699,999,990,000位小數
2010年	近藤茂	5,000,000,000,000位小數
2011年	近藤茂	10,000,000,000,000位小數

2011年IBM 蓝色基因/P超级计算机算出π²的60,000,000,000,000位二進制小數。

特性和相關公式

幾何

若圓的半徑為r，則其周长為C = 2πr

若圓的半徑為r，則其面積為S =πr²

若橢圓的長、短兩軸分別為a 和 b ，則其面積為S = πab

若球體的半徑為 r，則其體積為 V = (4/3)πr³

若球體的半徑為r，則其表面積為 S = 4πr²

角：180度相等於π弧度

环面的体积和表面积公式

$A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

$V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

R是管子的中心到画面的中心的距离， r是圆管的半径。

代數

π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數，即不可能是任何有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數，而超越數不是代數數。

數學分析

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ (Leibniz定理)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$ (Wallis乘積)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$(由歐拉证明，参见巴塞尔问题)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (斯特林公式)

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (歐拉公式)

π有個特別的連分數表示式：

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

π本身的連分數表示式(簡寫)為[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數

$3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}$

第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。

(另有12個表達式見於[3] )

數論

兩個任意自然數是互質的概率是$\frac{6}{\pi^2}$。

任取一個任意整數，該整數沒有重複質因數的概率為$\frac{6}{\pi^2}$。

一個任意整數平均可用$\frac{\pi}{4}$個方法寫成兩個完全平方數之和。

概率論

取一枚長度為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的概率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找π的值。

動態系統／遍歷理論

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$

對[0, 1]中幾乎所有x₀，其中 x_i是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。

物理學

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ (海森堡不确定性原理)

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$ (相對論的場方程)

統計學

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}$ （此為常態分配的機率密度函數）

高精度π的應用

一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π，因為40位精確度的π已經足以計算誤差小於一個質子大小的銀河系圓周。現今精度高π應用於電腦軟硬件的測試，以不同的算法計算π而結果誤差大代表電腦系統可能出問題。

尚待解決的問題

關於π未解決的問題包括：

• 它是否是一個正規數，即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列。對於二進位運算式，答案是肯定的，這是Bailey及Crandall於2000年從Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出來的。
• 0, ..., 9 是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中。若然，則對於非十進位運算式，亦應有類似特質。
• 究竟是否所有 0, ..., 9 都會無窮地在π的小數運算式中出現。
• 到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確。

批评

近年来，有部分学者认为约等于3.14的π“不合自然”，应该用双倍于π、约等于6.28的一个常数代替。支持这一说法的学者认为在很多数学公式2π很常见，很少单独使用一个π。美国哈佛大学物理学教授的迈克尔·哈特尔称“圆形与直径无关，而与半径相关，圆形由离中心一定距离即半径的一系列点构成”。并建议使用希腊字母τ来代替π。

美国数学家鲍勃·帕莱（Bob Palais）于2001年在《数学情报》（The Mathematical Intelligencer）上发表了一篇题为《π 是错误的！》（π Is Wrong!）的论文。在论文的第一段，鲍勃·帕莱说道：

几个世纪以来，π 受到了无限的推崇和赞赏。数学家们歌颂 π 的伟大与神秘，把它当作数学界的象征；计算器和编程语言里也少不了 π 的身影；甚至有 一部电影 就直接以它命名⋯⋯但是，π 其实只是一个冒牌货，真正值得大家敬畏和赞赏的，其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数。

美国数学家麦克·哈特尔（Michael Hartl） 建立了网站 tauday.com ，呼吁人们用希腊字母 τ（发音：tau）来表示“正确的”圆周率 C/r。并建议大家以后在写论文时，用一句“为方便起见，定义 τ = 2π ”开头。

著名的 Geek 漫画网站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ，里边有一篇洋洋洒洒数千字的 π 宣言，宣称圆周率定义为周长与直径之比有优越性，並認為在衡量圆柱形物体的截面大小时，直径比半径更方便测量，想要反駁擁護τ的言論。

文化

背誦

圆周率背诵世界记录的趋势

世界記錄是100000位，日本人原口證於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。

普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾，把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂而樂」，就是3.1415926535897932384626。 另一諧音為：「山巔一石一壺酒，二侶舞仙舞，罷酒去舊衫，握扇把市溜」，就是3.14159265358979323846。

在英文，會使用英文字母的長度作為數字，例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944。

數學外的用途

• 在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
• 排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926
• 3月14日為圓周率日

1000位近似值

下面是圓周率小數點後1000位的值，儘管它已經非常精確，但仍然是近似值。

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

注釋

3.14

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• 費曼點

外部連接

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• 將π前一萬位元化作音樂旋律
• SuperPI 計算π值的軟體，電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度（日文）
• 計算圓周率
• PiFast 個人電腦上最快的計算π值軟體，是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。
• 用大炮求圓周率：以蒙特卡羅演算法，利用圓的面積求圓周率。