圓周率
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圓周率,一般以π來表示,是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數,是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何量的關鍵值,其定義為圓的周長与直徑的比值。
也等於圓的面積與半徑平方的比值。
在分析學裡,
可以嚴格定義為滿足
的最小正實數
,這裡的
是正弦函數(採用分析學的定義)。
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近似值 [编辑]
3. 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647 093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559 644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165 271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360 011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953 092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724 891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737 190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901 224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960 864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951 059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035 261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532 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762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658 213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915 441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785 376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729 360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579 787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800 700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407 854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235 808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594 130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454 779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901 938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412 147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043 063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114 654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832 716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296 617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177 036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530 984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860 809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381 297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435 403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738 379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281 512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541 341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177 207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332 316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710 585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330 336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695 970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784 778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113 835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788 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- 常用π的十進位近似值為3.1415926535897932384626433832075028841971693993751,另外還有由祖沖之給出的約率:
及密率:
[1]。 - 一般教育使用的π值只取3.14或
。 - 巴比倫人曾使用六十進制的圓周率,數值為
- .8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,
36,17,43,4,29,7,1,3,41,17,
52,36,12,14,36,44,51,5,15,33,
7,23,59,9,13,48,22,12,21,45,
22,56,47,39,44,28,37,58,23,21,
11,56,33,22,4,42,31,6,6,4。[2]
計算及歷史 [编辑]
由於π的無理性,所以只能以近似值的方法計算π。對於一般應用3.14或
已足夠,但工程學常利用3.1416(5位有效數字)或3.14159(6位有效數字)。至於密率
(3.1415929...)則是一個易於記憶(三個連續奇數:113355),且精確至7位有效數字的分數近似值。
而在2009年末,有科學家已經用超級電腦計算出圓周率暫時計到小數點後2兆7千億個小數位。
而在2010年8月,日本男子近藤茂利用自己組裝硬盤容量達32TB的電腦,計算出圓周率小數點後5兆個小數位。[3]
而在2011年10月19日,日本程序員JA0HXV宣布他已經將圓周率Pi計算到小數點後10兆位[4]
實驗時期 [编辑]
中國古籍云:「徑一周三」[5],意即取π=3。
公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》(Ahmes,又稱“阿梅斯草片文書”;為英國人Alexander Henry Rhind(萊茵德)於1858年發現,因此還稱“萊茵德紙草書” Rhind Papyrus)是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值,為256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。这部纸草书声称是抄自300年前的另一部文献,也就是说,这个Pi值是公元前1850年(1850 BC)就存在了。
在阿基米德以前,π值的測定依靠實物測量。
幾何法時期——反覆割圓 [编辑]
公元263年,中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率,他先從圓內接正六邊形,逐次分割為12、24、48、96、192邊形。他說「割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。」(分割愈精細,誤差愈少。分割之後再分割,直到不能再分割為止,它就會與圓周完全重疊,就不會有誤差了),其中有求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值,並以
(徽率)為其分數近似值。刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小[6]。于是继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率
[7]。
公元466年,中國數學家祖沖之將圓周率算到小數點後6位的精確度,這一紀錄在世界上保持了一千年之久。同時,祖沖之給出了
(密率)這個很好的分數近似值,它是分母小於16604的分数中最接近π的[8]。(参见有理逼近)。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻,日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”,簡稱“祖率”。在祖冲之后的印度数学家阿耶波多获得 62832/20000 = 3.1416;分子、分母都比祖冲之的密率大,结果却不如密率准确。可惜祖沖之的著作《綴術》已經亡佚,後人無從得知祖沖之如何估算圓周率的值。
錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉引《隋書律曆志》:「古之九數,圓周率三圓徑率一,其術疏舛,自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒,各設新率,未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開密率,以圓徑一億為一丈,圓周盈數三(刻本作二,誤)丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽,朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽,正數在盈朒二限之間,密率圓徑一百一十三,圓週三百五十五,約率圓徑七,周二十二。又設開差冪、開差立,兼以正圓參之,指要精密,算氏之最者也。」
分析法時期——無窮級數 [编辑]
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算,開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
魯道夫·范·科伊倫(約1600年)計算出π的小數點後首35位。他對此感到自豪,因而命人把它刻在自己的墓碑上。
斯洛文尼亞數學家Jurij Vega於1789年得出π的小數點後首140位,其中只有137位是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出π。第一個快速算法由數學家梅欽在1706年提出:
其中arctan(x)可由泰勒級數算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。
電腦時代 [编辑]
上萬位以上的小數位值通常利用高斯-勒讓德算法或波溫算法;另外以往亦曾使用於1976年發現的薩拉明-布倫特算法。
第一個π和1/π的小數點後首一百萬位利用了古騰堡計劃。最新紀錄是2002年9月得出的1,241,100,000,000個小數位,由擁有1TB主記憶體的64-node日立超級電腦,以每秒200億運算速度得出,比舊紀錄多算出一倍(206億小數位)。此紀錄由以下梅欽類公式得出:
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數位沒什麼實用價值,只用以測試超級電腦。
1996年,David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普勞夫發現了π的其中一個無窮級數:
以上述公式可以計算π的第n個二進位或十六進位小數,而不需先計算首n-1個小數位。此類π算法稱為贝利-波尔温-普劳夫公式。請參考Bailey's website 上相關程式。
法布里斯·贝拉於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP算法:
請參考Fabrice Bellard's PI page 。
其他計算圓周率的公式包括:
(拉馬努金Ramanujan)
(David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)
編寫電腦程式時,也可以利用反三角函數直接定義
值,但是編譯器必須具備三角函數的函式庫:
利用正弦函數
利用餘弦函數
计算机代数系统 [编辑]
多种计算机代数系统软件都可以计算高精度圆周率。
例如 Maple
evalf(Pi,100000)
在Intel Core i7处理器电脑上10秒钟内算出十万位圆周率数值。
年表 [编辑]
| 日期 | 計算者 | π的值 (世界紀錄用粗體表示) |
|---|---|---|
| 前20世紀 | 埃及人Rhind Papyrus | (16/9)² = 3.160493... |
| 前19世紀 | 巴比倫人 | 25/8 = 3.125 |
| 前12世紀 | 中國人 | 3 |
| 前9世紀 | 印度人Shatapatha Brahmana | 339/108 = 3.138888... |
| 前6世紀中 | 聖經列王記上7章23節 | 3 |
| 前434年 | 阿那克薩哥拉嘗試通過尺規作圖來化圓為方 | |
| 約前250年 | 阿基米德 | 223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163491... |
| 前20年 | Vitruvius | 25/8 = 3.125 |
| 前50年-23年 | 劉歆 | 3.1547[9] |
| 130年 | 張衡 | 92/29 = 3.17241...[9] √10 = 3.162277... 730/232 = 3.146551... |
| 150年 | 托勒密 | 377/120 = 3.141666... |
| 250年 | 王蕃 | 142/45 = 3.155555... |
| 263年 | 劉徽 | 3.141024 < π < 3.142104 3927/1250=3.1416 |
| 400年 | 何承天 (南朝) | 111035/35329 = 3.142885... |
| 480年 | 祖沖之 | 3.1415926 <π< 3.1415927 355/113=3.1415929...... |
| 499年 | Aryabhatta | 62832/20000 = 3.1416 |
| 640年 | Brahmagupta | √10 = 3.162277... |
| 800年 | 花拉子密 | 3.1416 |
| 1150年 | Bhaskara | 3.14156 |
| 1220年 | 比薩的列奧納多 | 3.141818 |
| 以後的紀錄都僅記錄小數點後多少位,而不給出實際數值 | ||
| 1400年 | Madhava發現π的無窮冪級數,現在稱為萊布尼茲公式 | 11位小數 13位小數 |
| 1424年 | Jamshid Masud Al Kashi | 16位小數 |
| 1573年 | Valenthus Otho,算出來的數值為355/113 | 6位小數 |
| 1579年 | Francois Viete | 9位小數 |
| 1593年 | Adriaen van Roomen | 15位小數 |
| 1596年 | 魯道夫·范·科伊倫 | 20位小數 |
| 1615年 | 32位小數 | |
| 1621年 | 威理博·司乃耳, 范·科伊倫的學生 | 35位小數 |
| 1665年 | 牛頓 | 16位小數 |
| 1681年 | 關孝和 | 11位小數 16位小數 |
| 1699年 | Abraham Sharp | 71位小數 |
| 1700年 | Seki Kowa | 10位小數 |
| 1706年 | John Machin | 100位小數 |
| 1706年 | William Jones引入希臘字母π | |
| 1719年 | De Lagny計算了127個小數位,但並非全部是正確的 | 112位小數 |
| 1722年 | Toshikiyo Kamata | 24位小數 |
| 1722年 | Takebe | 41位小數 |
| 1739年 | Matsunaga | 50位小數 |
| 1748年 | 萊昂哈德·歐拉引入希臘字母π並肯定其普及性 | |
| 1761年 | 約翰·海因里希·蘭伯特證明π是無理數 | |
| 1775年 | 歐拉指出π是超越數的可能性 | |
| 1794年 | Jurij Vega 計算了140個小數位,但並非全部是正確的 | 137位小數 |
| 1794年 | 阿德里安-馬里·勒讓德證明π²是無理數(則π也是無理數),並提及π是超越數的可能性 | |
| 1841年 | Rutherford計算了208個小數位,但並非全部是正確的 | 152位小數 |
| 1844年 | Zacharias Dase及Strassnitzky計算了205個小數位,但並非全部是正確的 | 200位小數 |
| 1847年 | Thomas Clausen計算了250個小數位,但並非全部是正確的 | 248位小數 |
| 1853年 | Lehmann | 261位小數 |
| 1853年 | Rutherford | 440位小數 |
| 1855年 | Richter | 500位小數 |
| 1874年 | en:William Shanks耗費15年計算了707位小數,可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對 | 527位小數 |
| 1882年 | Lindemann證明π是超越數(林德曼-魏爾斯特拉斯定理) | |
| 1910年 | Srinivasa Ramanujan發現幾個π的快速收斂無窮級數。 | |
| 1946年 | D. F. Ferguson使用桌上計算器 | 620位小數 |
| 1947年 | 伊萬·尼雲給了一個非常初等的π是無理數的證明。 | |
| 1947年1月 | D. F. Ferguson使用桌上計算器 | 710位小數 |
| 1947年9月 | 808位小數 | |
| 1949年 | D. F. Ferguson和J. W. Wrench爵士使用桌上計算器 | 1,120位小數 |
| 1949年 | J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦(ENIAC)計算π,以後的記錄都用電腦來計算的 | 2,037位小數 |
| 1953年 | Mahler證明π不是劉維爾數 | |
| 1954年 | J. W. Wrench, Jr,及L. R. Smith | 3,092位小數 |
| 1957年 | G.E.Felton | 7,480位小數 |
| 1958年1月 | Francois Genuys | 10,000位小數 |
| 1958年5月 | G.E.Felton | 10,020位小數 |
| 1959年 | Francois Genuys | 16,167位小數 |
| 1961年 | IBM 7090電晶體計算機 | 20,000位小數 |
| 1961年 | Daniel Shanks和John Wrench | 100,265位小數 |
| 1966年 | Jean Guilloud和J. Filliatre | 250,000位小數 |
| 1967年 | Jean Guilloud和M. Dichampt | 500,000位小數 |
| 1973年 | Jean Guilloud和Martin Bouyer | 1,001,250位小數 |
| 1981年 | Kazunori Miyoshi和金田康正 | 2,000,036位小數 |
| 1981年 | Jean Guilloud | 2,000,050位小數 |
| 1982年 | Yoshiaki Tamura | 2,097,144位小數 |
| 1982年 | Yoshiaki Tamura和金田康正 | 4,194,288位小數 |
| 1982年 | 8,388,576位小數 | |
| 1983年 | 金田康正,Sayaka Yoshino和Yoshiaki Tamura | 16,777,206位小數 |
| 1983年10月 | Yasunori Ushiro和金田康正 | 10,013,395位小數 |
| 1985年10月 | Bill Gosper | 17,526,200位小數 |
| 1986年1月 | David H. Bailey | 29,360,111位小數 |
| 1986年 | 金田康正 | 33,000,000位小數 |
| 1986年 | 67,000,000位小數 | |
| 1987年 | 134,000,000位小數 | |
| 1988年 | 201,000,000位小數 | |
| 1989年 | 楚諾維斯基兄弟 | 480,000,000位小數 |
| 1989年 | 535,000,000位小數 | |
| 1989年 | 金田康正 | 536,000,000位小數 |
| 1989年 | 楚諾維斯基兄弟 | 1,011,000,000位小數 |
| 1989年 | 金田康正 | 1,073,000,000位小數 |
| 1992年 | 2,180,000,000位小數 | |
| 1994年 | 楚諾維斯基兄弟 | 4,044,000,000位小數 |
| 1995年 | 金田康正和高橋 | 4,294,960,000位小數 |
| 1995年 | 6,000,000,000位小數 | |
| 1996年 | 楚諾維斯基兄弟 | 8,000,000,000位小數 |
| 1997年 | 金田康正和高橋 | 51,500,000,000位小數 |
| 1999年 | 68,700,000,000位小數 | |
| 1999年 | 206,000,000,000位小數 | |
| 2002年 | 金田康正的隊伍 | 1,241,100,000,000位小數 |
| 2009年 | 高橋大介[10] | 2,576,980,370,000位小數 |
| 2009年 | 法布里斯·貝拉 | 2,699,999,990,000位小數 |
| 2010年 | 近藤茂 | 5,000,000,000,000位小數 |
| 2011年 | 近藤茂 | 10,000,000,000,000位小數 |
2011年IBM 蓝色基因/P超级计算机[11]算出π2的60,000,000,000,000位二進制小數。
特性和相關公式 [编辑]
幾何 [编辑]
- 若圓的半徑為r,則其周长為C = 2πr
- 若圓的半徑為r,則其面積為S =πr2
- 若橢圓的長、短兩軸分別為a 和 b ,則其面積為S = πab
- 若球體的半徑為 r,則其體積為 V = (4/3)πr3
- 若球體的半徑為r,則其表面積為 S = 4πr2
- 角:180度相等於π弧度
环面的体积和表面积公式
R是管子的中心到画面的中心的距离, r是圆管的半径。
代數 [编辑]
π是個無理數,即不可表達成兩個整數之比,是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年,Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數,即不可能是任何有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性,因所有尺規作圖只能得出代數數,而超越數不是代數數。
數學分析 [编辑]
(Leibniz定理)
(Wallis乘積)
(斯特林公式)
(歐拉公式)
π有個特別的連分數表示式:
π本身的連分數表示式(簡寫)為[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...],其近似部分給出的首三個漸近分數
第一個和第三個漸近分數即為約率和密率的值。數學上可以證明,這樣得到的漸近分數,在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中,其值是最接近精確值的近似值。
(另有12個表達式見於[3] )
數論 [编辑]
概率論 [编辑]
- 取一枚長度為l的針,再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放,讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的概率是圓周率的倒數(泊松針)。曾經有人以此方法來尋找π的值。
動態系統/遍歷理論 [编辑]
- 對[0, 1]中幾乎所有x0,其中 xi是對於r=4的邏輯圖像迭代數列。
物理學 [编辑]
(相對論的場方程)
統計學 [编辑]
高精度π的應用 [编辑]
一般工程或天文運算不需要成千上萬位精確度的π,因為40位精確度的π已經足以計算誤差小於一個質子大小的銀河系圓周。現今精度高π應用於電腦軟硬件的測試,以不同的算法計算π而結果誤差大代表電腦系統可能出問題。[12] [13]
尚待解決的問題 [编辑]
關於π未解決的問題包括:
- 它是否是一個正規數,即π的十進位運算式是否包含所有的有限數列。對於二進位運算式,答案是肯定的,這是Bailey及Crandall於2000年從Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出來的。
- 0, ..., 9 是否以完全隨機的形態出現在π的十進位運算式中。若然,則對於非十進位運算式,亦應有類似特質。
- 究竟是否所有 0, ..., 9 都會無窮地在π的小數運算式中出現。
- 到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確。
批评 [编辑]
近年来,有部分学者认为约等于3.14的π“不合自然”,应该用双倍于π、约等于6.28的一个常数代替。支持这一说法的学者认为在很多数学公式2π很常见,很少单独使用一个π。美国哈佛大学物理学教授的迈克尔·哈特尔称“圆形与直径无关,而与半径相关,圆形由离中心一定距离即半径的一系列点构成”。并建议使用希腊字母τ来代替π[14][15][16]。
美国数学家鲍勃·帕莱(Bob Palais)于2001年在《数学情报》(The Mathematical Intelligencer)上发表了一篇题为《π 是错误的!》(π Is Wrong!)的论文。在论文的第一段,鲍勃·帕莱说道:
几个世纪以来,π 受到了无限的推崇和赞赏。数学家们歌颂 π 的伟大与神秘,把它当作数学界的象征;计算器和编程语言里也少不了 π 的身影;甚至有 一部电影 就直接以它命名⋯⋯但是,π 其实只是一个冒牌货,真正值得大家敬畏和赞赏的,其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数。
美国数学家麦克·哈特尔(Michael Hartl) 建立了网站 tauday.com ,呼吁人们用希腊字母 τ(发音:tau)来表示“正确的”圆周率 C/r。并建议大家以后在写论文时,用一句“为方便起见,定义 τ = 2π ”开头。
著名的 Geek 漫画网站 spikedmath.com 建立了 thepimanifesto.com ,里边有一篇洋洋洒洒数千字的 π 宣言,宣称圆周率定义为周长与直径之比有优越性,並認為在衡量圆柱形物体的截面大小时,直径比半径更方便测量,想要反駁擁護τ的言論。
文化 [编辑]
背誦 [编辑]
世界記錄是100000位,日本人原口證於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。[17]
普通話用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒,爾樂苦煞吾,把酒吃,酒殺爾,殺不死,樂而樂」,就是3.1415926535897932384626。 另一諧音為:「山巔一石一壺酒,二侶舞仙舞,罷酒去舊衫,握扇把市溜」,就是3.14159265358979323846。
在英文,會使用英文字母的長度作為數字,例如「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.」就是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944。
數學外的用途 [编辑]
- 在Google公司2005年的一次公開募股中,集資額不是通常的整頭數,而是$14,159,265,這當然是由π小數點後的位數得來。(順便一提,谷歌公司2004年的首次公開募股,集資額為$2,718,281,828,與數學常數e有關)
- 排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數,使之越來越接近π的值:3.1,3.14,……當前的最新版本號是3.1415926
- 3月14日為圓周率日
1000位近似值 [编辑]
下面是圓周率小數點後1000位的值,儘管它已經非常精確,但仍然是近似值。
3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
注釋 [编辑]
- ^ 錢大昕的《十駕齋養新錄》卷第十七首條〈圓徑周率〉
- ^ 60進制下60個小數位的圓周率
- ^ 日男砌機 計圓周率小數點5萬億位
- ^ [1]
- ^ 《周髀算經》注中,趙爽指出「圓徑一而周三,方徑一而匝四」。
- ^ “周得一百五十七,徑得五十,則其相與之率也。周率猶為微少也”。
- ^ “……徑得一千二百五十,周得三千九百二十七,即其相與之率。”
- ^
才比祖率略准。 - ^ 9.0 9.1 《
和e》,夏道行,商務印書館,第10頁,ISBN 962-07-2007-5 - ^ 筑波大學計算科学研究中心准教授,以超級電腦T2K筑波システム耗費73小時36分計算而得
- ^ Supercomputers Crack Sixty-Trillionth Binary Digit of Pi-Squared. energy.gov. April 28, 2011 [2011-05-05].
- ^ The Quest for Pi
- ^ Pi goes on forever
- ^ 有学者认为圆周率定义不合理 要求改为6.28. 网易. 2011-6-30 [2011-6-30] (中文(中国大陆)).
- ^ Landau, Elizabeth. On Pi Day, is 'pi' under attack?. CNN. 14 March 2011 [15 March 2011].
- ^ Michael Hartl. The Tau Manifesto. 28 June 2010 [12 January 2011].
- ^ The Japan Times - How can anyone remember 100,000 numbers?
3.14
相關條目 [编辑]
外部連接 [编辑]
- 尋找π值的計畫
- 前1.2百萬位元中的部分資料
- 將π前一萬位元化作音樂旋律
- SuperPI 計算π值的軟體,電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度(日文)
- 計算圓周率
- PiFast 個人電腦上最快的計算π值軟體,是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。
- 用大炮求圓周率:以蒙特卡羅演算法,利用圓的面積求圓周率。
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![\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522c8c20a747acc35a997e5f1e3e2b7f.png)



![\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}](http://upload.wikimedia.org/math/2/8/0/280b4c450c08bf8046ebcc5b55220b9c.png)




= 3.141592653…



與
之間。
(K. Takano,
(F. C. W. Störmer, 

(拉馬努金Ramanujan)
(David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)






(Leibniz定理)
(Wallis乘積)
(由
(
(



。
個方法寫成兩個
(
(此為
才比祖率略准。