圓周運動

在物理學中，圓周運動是在圓圈上轉圈：一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時，物體的體積大小會被忽略，並看成一點。這個點即被稱作質點

圓周運動的例子有：一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連接著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個均勻的磁場、一個齒輪在機器中的轉動（其表面和內部任一點）。

圓周運動以向心力提供運動物體所須的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。如果沒有向心力，那麼物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。儘管物體速率不變，但物體作圓周運動時仍然是有被加速的，因為物體的速度向量是不停地改變方向。

常用公式

• $\theta = \omega t \$
• $v = r\omega \$
• $a = r\omega^2 \$
• $T = {2\pi \over \omega} \$

其中v为速度，a为加速度, T为周期，ω为角速度（单位：rad/s）。

公式證明

設圓周運动軌跡上(第一象限中)一點(x,y)，半徑是r，半徑和X軸夾角$\theta$

位移

• $\left|\vec{x} \right| = r \cos \theta = r \cos \omega t$
• $\left|\vec{y} \right|= r \sin \theta = r \sin \omega t$

速度

• $\left|\vec{V}_x \right|= \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{dr \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = -r \omega \sin \omega t$
• $\left|\vec{V}_y \right|= \frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{dr \sin \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = r \omega \cos \omega t$
• $\omega = \frac{d \theta}{dt}$

加速度

• $\vec{a}_x = \frac{d\vec{V}_x}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \cos \omega t$
• $\vec{a}_y = \frac{d\vec{V}_y}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \sin \omega t$
• $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}} = r \omega^{2} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}$
• $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}= \frac{2 \pi \vec{r}}{T}$

等速圆周运动

考虑最简单的情形，速度、质量、半径均恒定不变.

假设一个1千克的物体，以角速度1rad·s⁻¹沿半径为1m的圆运动.

• 该物体的速度为1m·s⁻¹
• 向心加速度为1m·s⁻².
• 该物体受到的向心力为1kg·m·s⁻²，即1牛顿.
• 该物体的动量为1kg·m·s⁻¹.
• 转动惯量为1kg·m².
• 角动量为1kg·m²·s⁻¹.
• 动能为1/2 焦耳.
• 轨道的周长为2π (~ 6.283)米.
• 运动的周期为2π 秒.
• 频率为(2π)⁻¹ 赫兹.
• 從量子力學的觀點，系統在受激態的量子數大約為～9.48×10³⁵。

然后假设一个质量为m的物体，以角速度ω沿半径为r的圆周运动.

• 速度v = r·ω.
• 向心加速度a = r·ω ² = r ⁻¹·v ².
• 向心力F = m·a = r·m·ω ² = r⁻¹·m·v ².
• 物体的动量p = m·v = r·m·ω.
• 转动惯量I = r ²·m.
• 角动量L = r·m·v = r ²·m·ω = I·ω.
• 动能E = 2⁻¹·m·v ² = 2⁻¹·r ²·m·ω ² = (2·m)⁻¹·p ² = 2⁻¹·I·ω ² = (2·I)⁻¹·L ² .
• 轨道周长为2·π·r.
• 运动周期T = 2·π·ω ⁻¹.
• 频率f = T ⁻¹ . (常用希腊字母ν表示频率，但为了与表示速度的符号v区分，这里使用f表示频率).
• 量子数J = 2·π·L h⁻¹.

..

变速圆周运动

一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为径向分力（使物体保持圆轨道运动）和切向分力（使物体速度发生变化）。

向心力的大小由运动物体的瞬时速度决定。

繩子末端的物體在這種情況下，受到的力量可以分為徑向分力和切線分力。徑向分力可以指向中心也可以向外。

圆周运动的极坐标描述

在圓周運動時，物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。

The $\vec r$ 徑向量為：

$\vec r=R \vec e_R$ 此處 $\vec e_R$ 是平行於徑向量的單位向量。

在極座標中，物體的速度可以用兩個分量表示：徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零，則速度:

$\vec v=R\dot \varphi \cdot \vec e_{\varphi}$

所以 $v_{\varphi}=R\omega$

物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量：

$\vec a = \dot {\vec v} = -R{\dot \varphi}^2 \vec e_R +R \ddot \varphi \vec e_{\varphi}$

我們可以看到向心加速度是徑向的分量，它是：

$a_R= R\dot \varphi ^2=R\omega ^2$

徑向分量可改變速度的大小:

$a_{\varphi}=R\ddot \varphi = R\varepsilon$

圆周运动的复数描述

我們可以使用複數來描述圓周運動。令$x$軸表示實數，$y$軸表示虛數，則物體的位置可以表示成在$z$的複數向量：

$z=x+iy=R(\cos \varphi +i \sin \varphi)=Re^{i\varphi}$

此處$i$是虛數單位。

$\varphi =\varphi (t)$是複數向量的實數部份，並且是時間的函數。

因為半徑是常數（定值）$\dot R =\ddot R =0$

所以速度是：

$v=\dot z = iR\dot \varphi e^{i\varphi} = i\omega \cdot Re^{i\varphi}= i\omega z$

而加速度則是：

$a=i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\varepsilon -\omega^2)z$

参考条目

• 角动量
• 简谐运动
• 轉動運動方程式
• 擺 (數學)
• 等速圓周運動
• 向心力

外部链接

• Circular Motion - 网上教科书（英文）