圓周運動

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

物理學中,圓周運動是在圓圈上轉圈:一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時,物體的體積大小會被忽略,並看成一點。這個點即被稱作質點

圓周運動的例子有:一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連接著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個均勻的磁場、一個齒輪在機器中的轉動(其表面和內部任一點)。

圓周運動以向心力提供運動物體所須的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。如果沒有向心力,那麼物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。儘管物體速率不變,但物體作圓周運動時仍然是有被加速的,因為物體的速度向量是不停地改變方向。

常用公式[编辑]

  •  \theta = \omega t \
  •  v = r\omega \
  •  a = r\omega^2 \
  •  T = {2\pi \over \omega} \

其中v为速度,a为加速度, T为周期,ω为角速度(单位:rad/s)。

公式證明[编辑]

設圓周運动軌跡上(第一象限中)一點(x,y),半徑是r,半徑和X軸夾角 \theta

位移[编辑]

  • \left|\vec{x} \right| = r \cos \theta  = r \cos \omega t
  • \left|\vec{y} \right|= r \sin \theta = r \sin \omega t

速度[编辑]

  •  \left|\vec{V}_x \right|= \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{dr \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = -r \omega \sin \omega t
  •  \left|\vec{V}_y \right|= \frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{dr \sin \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = r \omega \cos \omega t
  •  \omega = \frac{d \theta}{dt}

加速度[编辑]

  •  \vec{a}_x = \frac{d\vec{V}_x}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \cos \omega t
  •  \vec{a}_y = \frac{d\vec{V}_y}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \sin \omega t
  •  \left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}} = r \omega^{2} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}
  •  \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}= \frac{2 \pi \vec{r}}{T}

等速圆周运动[编辑]

考虑最简单的情形,速度、质量、半径均恒定不变.

假设一个1千克的物体,以角速度1rad·s−1沿半径为1m的圆运动.

然后假设一个质量为m的物体,以角速度ω沿半径为r的圆周运动.

  • 速度v = r·ω.
  • 向心加速度a = r·ω 2 = r −1·v 2.
  • 向心力F = m·a = r·m·ω 2 = r−1·m·v 2.
  • 物体的动量p = m·v = r·m·ω.
  • 转动惯量I = r 2·m.
  • 角动量L = r·m·v = r 2·m·ω = I·ω.
  • 动能E = 2−1·m·v 2 = 2−1·r 2·m·ω 2 = (2·m)−1·p 2 = 2−1·I·ω 2 = (2·I)−1·L 2 .
  • 轨道周长为2·π·r.
  • 运动周期T = 2·π·ω −1.
  • 频率f = T −1 . (常用希腊字母ν表示频率,但为了与表示速度的符号v区分,这里使用f表示频率).
  • 量子数J = 2·π·L h−1.

..

变速圆周运动[编辑]

一般地,将作圆周运动的物体所受的合力分解为径向分力(使物体保持圆轨道运动)和切向分力(使物体速度发生变化)。

向心力的大小由运动物体的瞬时速度决定。

繩子末端的物體在這種情況下,受到的力量可以分為徑向分力和切線分力。徑向分力可以指向中心也可以向外。

圆周运动的极坐标描述[编辑]

在圓周運動時,物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。

The \vec r 徑向量為:
\vec r=R \vec e_R 此處 \vec e_R 是平行於徑向量的單位向量。

在極座標中,物體的速度可以用兩個分量表示:徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零,則速度:

\vec v=R\dot \varphi \cdot \vec e_{\varphi}
所以 v_{\varphi}=R\omega

物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量:

\vec a = \dot {\vec v} = -R{\dot \varphi}^2 \vec e_R +R \ddot \varphi \vec e_{\varphi}

我們可以看到向心加速度是徑向的分量,它是:

a_R= R\dot \varphi ^2=R\omega ^2

徑向分量可改變速度的大小:

a_{\varphi}=R\ddot \varphi = R\varepsilon

圆周运动的复数描述[编辑]

我們可以使用複數來描述圓周運動。令x軸表示實數,y軸表示虛數,則物體的位置可以表示成在z的複數向量

z=x+iy=R(\cos \varphi +i \sin \varphi)=Re^{i\varphi}

此處i虛數單位

\varphi =\varphi (t)是複數向量的實數部份,並且是時間的函數。
因為半徑是常數(定值)\dot R =\ddot R =0

所以速度是:

v=\dot z = iR\dot \varphi e^{i\varphi} = i\omega \cdot Re^{i\varphi}= i\omega z

而加速度則是:

a=i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\varepsilon -\omega^2)z

参见[编辑]

外部链接[编辑]