圓周運動

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物理學中,圓周運動是指运动轨迹为圆的一部分的一种运动

圓周運動的例子有:一個轨道为圆的人造衛星的运动、、一个電子垂直地進入一個均勻的磁場时所做的运动等等。

运动学分析[编辑]

一个质点的圆周运动可以按轨道的切向和垂直轨道的法向这两个方向来分解。

质点的加速度在切向的分量称为切向加速度。切向加速度改变质点沿轨道运动的线速度的大小,不改变方向。加速度在法向的分量成为法向加速度。由于在圆周运动中,法向加速度始终指向圆心,所以此加速度又称向心加速度。向心加速度改变质点速度的方向,不改变大小。

切向加速度大小为零的运动称为匀速圆周运动。[1]

对于匀速圆周运动,符合以下方程和分量方程

常用公式[编辑]

  •  \theta = \omega t \
  •  v = r\omega \
  •  a = r\omega^2 \
  •  T = {2\pi \over \omega} \

其中v为速度,a为加速度, T为周期,ω为角速度(单位:rad/s)。

分量方程[编辑]

在运动平面中建立平面直角坐标系,并以圆心为原点,初位置的位置矢量\vec{r}的方向为x轴正方向。

位移[编辑]

  • \left|\vec{x} \right| = r \cos \theta  = r \cos \omega t
  • \left|\vec{y} \right|= r \sin \theta = r \sin \omega t

速度[编辑]

  •  \left|\vec{V}_x \right|= \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{dr \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = -r \omega \sin \omega t
  •  \left|\vec{V}_y \right|= \frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{dr \sin \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = r \omega \cos \omega t
  •  \omega = \frac{d \theta}{dt}

加速度[编辑]

  •  \vec{a}_x = \frac{d\vec{V}_x}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \cos \omega t
  •  \vec{a}_y = \frac{d\vec{V}_y}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \sin \omega t
  •  \left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}} = r \omega^{2} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}
  •  \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}= \frac{2 \pi \vec{r}}{T}

动力学分析[编辑]

将做圆周运动的质点受到的合力F分解为切向力F_\tau和法向力F_n

切向力产生切向加速度: F_\tau=ma_\tau

法向力产生法向加速度: F_n=ma_n

当质点做匀速圆周运动时,质点受到的合外力F=F_n,此时F又称向心力[2]

物理量[编辑]

假设一个1千克的物体,以角速度1rad·s−1沿半径为1m的匀速圆周运动。

然后假设一个质量为m的物体,以角速度ω沿半径为r的圆周运动.

  • 速度v = r·ω.
  • 向心加速度a = r·ω 2 = r −1·v 2.
  • 向心力F = m·a = r·m·ω 2 = r−1·m·v 2.
  • 物体的动量p = m·v = r·m·ω.
  • 转动惯量I = r 2·m.
  • 角动量L = r·m·v = r 2·m·ω = I·ω.
  • 动能E = 2−1·m·v 2 = 2−1·r 2·m·ω 2 = (2·m)−1·p 2 = 2−1·I·ω 2 = (2·I)−1·L 2 .
  • 轨道周长为2·π·r.
  • 运动周期T = 2·π·ω −1.
  • 频率f = T −1 . (常用希腊字母ν表示频率,但为了与表示速度的符号v区分,这里使用f表示频率).
  • 量子数J = 2·π·L h−1.

..

变速圆周运动[编辑]

一般地,将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力(垂直于速度方向)和切向力(沿速度方向,使物体速度大小发生变化)。而物体在这两个方向上满足牛顿第二定律

向心力的大小:

F_n=ma_n=m \frac{v^2}{r}

v是物体的速度,r是运动轨迹的半径。[3]

圆周运动的极坐标描述[编辑]

在圓周運動時,物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。

The \vec r 徑向量為:
\vec r=R \vec e_R 此處 \vec e_R 是平行於徑向量的單位向量。

在極座標中,物體的速度可以用兩個分量表示:徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零,則速度:

\vec v=R\dot \varphi \cdot \vec e_{\varphi}
所以 v_{\varphi}=R\omega

物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量:

\vec a = \dot {\vec v} = -R{\dot \varphi}^2 \vec e_R +R \ddot \varphi \vec e_{\varphi}

我們可以看到向心加速度是徑向的分量,它是:

a_R= R\dot \varphi ^2=R\omega ^2

徑向分量可改變速度的大小:

a_{\varphi}=R\ddot \varphi = R\varepsilon

圆周运动的复数描述[编辑]

我們可以使用複數來描述圓周運動。令x軸表示實數,y軸表示虛數,則物體的位置可以表示成在z的複數向量

z=x+iy=R(\cos \varphi +i \sin \varphi)=Re^{i\varphi}

此處i虛數單位

\varphi =\varphi (t)是複數向量的實數部份,並且是時間的函數。
因為半徑是常數(定值)\dot R =\ddot R =0

所以速度是:

v=\dot z = iR\dot \varphi e^{i\varphi} = i\omega \cdot Re^{i\varphi}= i\omega z

而加速度則是:

a=i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\varepsilon -\omega^2)z

参考文献[编辑]

  1. ^ 程稼夫. 中学奥林匹克竞赛物理教程. 力学篇. 中国科技大学出版社. 2013.6: P30. ISBN 978-7-312-03193-9. 
  2. ^ 赵志敏. 高中物理竞赛教程*拓展篇. 复旦大学出版社. : P78~P79. ISBN 978-7-309-08250-0. 
  3. ^ 沈晨. 更高更妙的物理 第5版. 浙江大学出版社. 2012年5月: P63. ISBN 978-7-308-04609-1 (中文(简体)‎). 

参见[编辑]

外部链接[编辑]