圓柱坐標系

用圓柱坐標 $(\rho,\ \phi,\ z)$ 來表示一個點的位置

圓柱坐標系（cylindrical coordinate system）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 $z$ 專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為 $(\rho,\ \phi,\ z)$ 。

如圖右，P 點的圓柱坐標是 $(\rho,\ \phi,\ z)$ 。

• $\rho$ 是 P 點與 z-軸的垂直距離。
• $\phi$ 是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
• $z$ 與直角坐標的 $z$ 等值。

圓柱坐標 $(\rho,\ \phi,\ z)$ 的坐標曲面。紅色圓柱面的 $\rho=2$ 。藍色平面的 $z=1$ 。黃色半平面的 $\phi= - 60^{\circ}$ 。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑球表示）。點 P 的直角坐標大約為 $(1.0,\ - 1.732,\ 1.0)$ 。

坐標系變換

三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

使用以下方程式，可以從圓柱坐標變換為直角坐標：

${\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 }$ 、

${\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)$ 、

$z=z$ 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 $(x,\ y)$ 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從直角坐標變換為圓柱坐標：

$x=\rho \cos\phi$ 、

$y=\rho \sin\phi$ 、

$z=z$ 。

球坐標系

用球坐標 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 來表示一個點的位置

使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：

$\rho=r\sin\theta$、

$\phi=\phi$ 、

$z=r\cos\theta$ 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$ 、

$\theta=\arctan\frac{\rho}{z}$ 、

$\phi=\phi$ 。

坐標因子

圓柱坐標系的坐標因子分別為

$h_{\rho} =1$ 、

$h_{\phi} =\rho$ 、

$h_{z} =1$ 。

在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

$\mathrm d\mathbf{r} = \mathrm d\rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\mathrm d\varphi\,\boldsymbol{\hat\varphi} + \mathrm dz\,\mathbf{\hat z}$ 。

面積元素是

$\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz$ 。

體積元素是

$\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz$ 。

劈形算符表示為

$\nabla = \boldsymbol{\hat \rho}\frac{\partial}{\partial \rho} + \boldsymbol{\hat \varphi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} + \mathbf{\hat z}\frac{\partial}{\partial z}$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^2 \Phi={1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho{\partial \Phi \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2} + {\partial^2 \Phi \over \partial z^2}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ ， $\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(\rho,\ \phi,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 $x^2+y^2=c^2$；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 $\rho=c$。這也是圓柱坐標系名稱的由來。