圓環坐標系

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圖 1 )圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 \sigma=30^{\circ} 。藍色環面的 \tau=0.5 。黃色半平面的 \phi=60^{\circ} 。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為 (0.996,\ - 1.725,\ 1.911)
圖 2 )雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面( \sigma-坐標曲面),而藍色圓圈則變成藍色環面( \tau-坐標曲面)。

圓環坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面;兩個焦點 F_{1}F_{2}直角坐標分別為 ( - a,\ 0,\ 0)(a,\ 0,\ 0) 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點,變為一個半徑為 a 的圓圈,包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓,又稱為參考圓

數學定義[编辑]

在三維空間裏,一個點 P 的圓環坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 最常見的定義是

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi
y = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi
z = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}

其中,(x,\ y,\ z)直角坐標\sigma 坐標是 \angle F_{1} P F_{2}弧度\tau 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d_{1}d_{2} 的比例的自然對數:

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

圓環坐標的值域為  - \pi < \sigma\le\pi\tau\ge 00\le\phi < 2\pi

坐標曲面[编辑]

每一個 \sigma-坐標曲面都是包含了焦圓,而不同心的圓球面。圓球半徑為

x^2+y^2+(z - a\cot\sigma)^2=\frac{a^2}{\sin^2\sigma}

正值 \sigma 的圓球面的圓心都在正 z-軸;而負值 \sigma 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 \left| \sigma \right| 增加時,圓球半徑會減小,圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時,\left| \sigma \right| 達到最大值 \pi/2

每一個 \tau-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}

\tau=0 曲線與 z-軸同軸。當 \tau 值增加時,圓球面的半徑會減少,圓球心會靠近焦點。

逆變換[编辑]

圖 3 )點 P 的坐標 \sigma\tau 的幾何詮釋。在一個方位角 \phi 為常數的平面裏,圓環坐標系變成雙極坐標系。\overline{F_1 P}\overline{F_2 P} 的夾角 \angle F_{1} P F_{2} 的弧度是 \sigmaF_1 PF_2 P 的比例的自然對數\tau\sigma\tau 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。

\taud_{1}d_{2} 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

圓環坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表達。方位角 \phi 的公式為

\tan \phi = \frac{y}{x}

點 P 與兩個焦點之間的距離是

d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} + a)^{2} + z^{2}
d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a)^{2} + z^{2}

如圖 3 ,\angle F_1PF_2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P}\overline{F_2 P} 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma 。用餘弦定理來計算:

\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}

標度因子[编辑]

圓環坐標 \sigma\tau 的標度因子相等:

h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}

方位角的標度因子為

h_{\phi} = \frac{a \sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}

無窮小體積元素是

dV = \frac{a^{3}\sinh \tau}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}} d\sigma d\tau d\phi

拉普拉斯算子


\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau} 
\left[ 
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) + 
\frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) + 
\frac{1}{\sinh \tau \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\sigma,\ \tau,\ z) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

圓環坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是,有一個圓環導體,請問其周圍的電位電場為什麼?應用圓環坐標,我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀,圓環坐標時常用在托卡馬克核融合理論研究。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115. 
  • Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, 64: 664–672. 

參考目錄[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 666. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. 
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192. 
  • Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.