圓環坐標系

圖 1 ）圓環坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $\sigma=30^{\circ}$ 。藍色環面的 $\tau=0.5$ 。黃色半平面的 $\phi=60^{\circ}$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(0.996,\ - 1.725,\ 1.911)$ 。

圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面（ $\sigma$-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色環面（ $\tau$-坐標曲面）。

圓環坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 的直角坐標分別為 $( - a,\ 0,\ 0)$ 與 $(a,\ 0,\ 0)$ 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 $a$ 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。

數學定義

在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 最常見的定義是

$x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi$ 、

$y = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi$ 、

$z = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}$ ；

其中，$(x,\ y,\ z)$ 是直角坐標，$\sigma$ 坐標是 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數：

$\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}$ 。

圓環坐標的值域為 $- \pi < \sigma\le\pi$ ，$\tau\ge 0$ ， $0\le\phi < 2\pi$ 。

坐標曲面

每一個 $\sigma$-坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

$x^2+y^2+(z - a\cot\sigma)^2=\frac{a^2}{\sin^2\sigma}$ 。

正值 $\sigma$ 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 $\sigma$ 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 $\left| \sigma \right|$ 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，$\left| \sigma \right|$ 達到最大值 $\pi/2$ 。

每一個 $\tau$-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

$z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}$ 。

$\tau=0$ 曲線與 z-軸同軸。當 $\tau$ 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換

圖 3 ）點 P 的坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的幾何詮釋。在一個方位角 $\phi$ 為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。$\overline{F_1 P}$ 與 $\overline{F_2 P}$ 的夾角 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_1 P$ 與 $F_2 P$ 的比例的自然對數是 $\tau$ 。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數：

$\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}$ 。

圓環坐標 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 來表達。方位角 $\phi$ 的公式為

$\tan \phi = \frac{y}{x}$ 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是

$d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} + a)^{2} + z^{2}$ 、

$d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a)^{2} + z^{2}$ 。

如圖 3 ，$\angle F_1PF_2$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 $\overline{F_1 P}$ 與 $\overline{F_2 P}$ 的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}$ 。

標度因子

圓環坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}$ 。

方位角的標度因子為

$h_{\phi} = \frac{a \sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}$ 。

無窮小體積元素是

$dV = \frac{a^{3}\sinh \tau}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}} d\sigma d\tau d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau} \left[ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right) + \frac{1}{\sinh \tau \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}} \right]$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 、$\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(\sigma,\ \tau,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。

參閱

• 國際熱核聚變實驗反應堆

參考文獻

• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115. 
• Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, 64: 664–672. 

參考目錄

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• Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.