圓群

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數學裡,圓群標記為T,為所有模為1之複數所組成的乘法,即在複數平面上的單位圓

\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}.

圓群為所有非零複數所組成之乘法群C×子群。由于C×可交換T也是可交換的。

圓群的符號T源自於TnnT直積)幾何上是個n-環面的此一事實。而圓群即正是一個1-環面。

基本介紹[编辑]

圓群上的加法

思考圓群的一種方法是描述其「角度」如何相加,其中只有0至360度的角度是被允許的。例如,右邊的圖表描述著如何將150度加上270度。其答案應該是150度+270度=420度,但以圓群的觀點來考慮,而必須要「忘記」掃過一整個圓的事實。因此,必須以360度來調整其答案,如此將會得出420度−360度=60度之答案。

另一種描述方法是使用原本的加法,但數字只限定在0和1之間。要完成此一描述,必須丟掉小數點前的數位。例如,當在算0.784+0.925+0.446時,其答案應該是2.155,但這裡必須丟掉前面的2,因此其答案(在圓群中)會是0.155。

拓撲與解析結構[编辑]

圓群不只是一個抽象代數群而已。當將其視為複數平面的子空間時,其會有一個自然的拓撲。因為乘法和反演是在C×上的連續函數,圓群會有一拓撲群的結構。更甚地,當單位圓是複數平面上的一個閉子集時,圓群也會是C×(其自身被視為是一拓撲群)的閉子群。

更多地,因為圓是一個一維實流形且其乘法和反演為圓上的圓變映射,這給了圓群一個一維李群的結構。實際上,以同構來分,其為唯一的一個同構於Tn的一維緊緻連通李群

同構[编辑]

圓群在數學裡可承現出很多種不同的類型。下面列出較常見的幾種類型,並證明

\mathbb T \cong \mbox{U}(1) \cong \mbox{SO}(2) \cong \mathbb R/\mathbb Z.\,

由所以一階酉矩陣所組成之集合很清楚地會和圓群相符;其酉的條件會等價於其元素的模為1的條件。因此圓群會同構於第一個酉群U(1)。

指數函數會產生一個由加法上的實數R映射至圓群T上之群同態exp:RT,其映射為

\theta \mapsto e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.

其最後一個等式為欧拉公式。實數θ會對應到單位圓上由正x軸量起的角度。這個映射是一個同態,因為單位複數的乘法可以對應到角度的加法上:

e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}.\,

此一指數映射很明顯地是一個由R映射至T滿射函數,但它不會是單射的。這個映射的為所有整數倍之集合。基於第一同構定理,會有著

\mathbb T \cong \mathbb R/2\pi\mathbb Z.\,

調整一下尺度後,可以表示出T會同構於R/Z

若複數被理解為二階實矩陣(見複數),單位複數則會對應至有單位行列式的二階正交矩陣上。特別地是,其中會有如下之對應關係

 e^{i\theta} \leftrightarrow \exp\left(\theta\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix} = \cos{\theta}\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
  +\sin{\theta}\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}.

圓群因此會同構於特殊正交群SO(2)。此處有著一個單位複數之乘法的幾何解釋,即為複數平面上的旋轉,及每一個此種類型的旋轉。

性質[编辑]

任何大於0之維度的緊緻李群G都會有一個會同構於圓群的子群。這是指以對稱的觀點來思考,一「連續」作用的緊緻對稱群可以被表示成有一作用著的單參數圓子群;其在物理系統上的結果可以有如旋轉不變性自發性對稱破壞等例子。

圓群有許多個子群,但其純緊緻子群只由單位根所構成。

表示[编辑]

圓群的表示是很容易描述的。舒爾引理描述說一個阿貝爾群的所有不可約表示都是一維的。圓群是緊緻的,任一表示\rho\colon\mathbb T\to \mathrm{GL}_1(\mathbb C) \cong \mathbb C^{\times}都必須在\mathrm{U}(1)\cong\mathbb T內取值。因此,圓群的不可約表示只是個由圓群映射至其本身的同態。每一個如此的同態都會有下面的形式

\phi_n(e^{i\theta}) = e^{in\theta},\qquad n\in\mathbb Z.

這些表示都是等價的。表示\phi_{-n} 共軛\phi_n

\phi_{-n} = \overline{\phi_n}.

這些表示都只是圓群的特徵標。而T特徵標群明顯為由\phi_1所產生之無限循環群

\mathrm{Hom}(\mathbb T,\mathbb T) \cong \mathbb Z.

圓群的不可約實數表示為(一維的)當然表示,且其表示

\rho_n(e^{i\theta}) = \begin{bmatrix}
\cos n\theta & -\sin n\theta \\
\sin n\theta & \cos n\theta \\
\end{bmatrix},\quad n\in\mathbb Z^{+}.

的值在SO(2)內。這裡只有正整數n,因為表示\rho_{-n}會等價於\rho_n

代數結構[编辑]

在此一章節中將不提及圓群的拓撲結構,而只專注於其代數結構。

圓群T是一個可除群。其撓子群是由所有n單位根所組成之集合,且會同構於Q/Z。可除群的結構定理表示T會同構於Q/Z和一串Q直積。這一串Q的數目必須為c連續勢)為了使直積的勢會是正確的。但cQ的直積會同構於RR如同是在Q上的c向量空間。因此

\mathbb T \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z).\,

同構

\mathbb C^\times \cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)

也可以以同樣的方式證明,因為C×也是其撓子群和T的撓子群相同的可除阿貝爾群。

另見[编辑]