圓錐坐標系

圓錐坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $r=2$ 。錐軸為 z-軸的藍色圓錐面的 $\mu=\cosh(1)$ 。錐軸為 x-軸的黃色圓錐面 $\nu^2= 2/3$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(1.26,\ - 0.78,\ 1.34)$ 。

圓錐坐標系是一種三維正交坐標系。它的三個坐標曲面分別為同心圓球面，錐軸為 x-軸的圓錐面，錐軸為 z-軸的圓錐面。

基本定義

圓錐坐標 $(r,\ \mu,\ \nu)$ 通常定義為

$x = \frac{r\mu\nu}{bc}$ 、

$y = \frac{r}{b} \sqrt{\frac{\left( \mu^{2} - b^{2} \right) \left( \nu^{2} - b^{2} \right)}{\left( b^{2} - c^{2} \right)} }$ 、

$z = \frac{r}{c} \sqrt{\frac{\left( \mu^{2} - c^{2} \right) \left( \nu^{2} - c^{2} \right)}{\left( c^{2} - b^{2} \right)} }$ ；

其中，$0\le r < \inf$ ，$\nu^{2} < c^{2} < \mu^{2} < b^{2}$ 。

坐標曲面

$r$ 坐標曲面是圓心在原點的圓球面：

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ 。

$\mu$ 與 $\nu$ 坐標曲面是兩個相交的圓錐面：

$\frac{x^{2}}{\mu^{2}} + \frac{y^{2}}{\mu^{2} - b^{2}} + \frac{z^{2}}{\mu^{2} - c^{2}} = 0$ 、

$\frac{x^{2}}{\nu^{2}} + \frac{y^{2}}{\nu^{2} - b^{2}} + \frac{z^{2}}{\nu^{2} - c^{2}} = 0$ 。

標度因子

如同球坐標系，徑向坐標 $r$ 的標度因子是

$h_{r} = 1$ 。

坐標$\mu$ 與 $\nu$ 的標度因子分別是

$h_{\mu} = r \sqrt{\frac{\mu^{2} - \nu^{2}}{\left( b^{2} - \mu^{2} \right) \left( \mu^{2} - c^{2} \right)}}$ 、

$h_{\nu} = r \sqrt{\frac{\mu^{2} - \nu^{2}}{\left( b^{2} - \nu^{2} \right) \left( c^{2} - \nu^{2} \right)}}$ 。

參考目錄

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