圖示 (範疇論)

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範疇論中,圖示集合論中的索引族於範疇論中的類比。兩者主要的不同在於,在範疇論中,態射也需要索引。集合的索引族是指由一個固定的集合索引的一組集合,亦可以說是由一個固定的索引「集合」映射至一組「集合」的「函數」。圖示則是指由一固定範疇索引的一組物件及態射,亦可以說是由一固定索引「範疇」映射至某些「範疇」的「函子」。

圖示及錐體是用來定義極限的核心概念。

定義[编辑]

在一範疇 C中類型J圖示是指一個(協變)函子

D : JC

範疇J被稱之為圖示D索引範疇,此一函子有時亦被稱為J型圖示[1]J實際的物件及態射為何並不重要,關鍵在於之間的互動。圖示D可想做是以J索引C內的物件及態射。

技術上,「圖示」及「函子」,以及「索引範疇」及「範疇」間並沒有什麼不同,用詞上的改變僅反映了觀點上的改變:將索引範疇固定,並允許函子(及目標範疇)變動。

通常,最感興趣的情況是當類型J小範疇有限範疇之時,此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

在範疇C內,類型J之圖示間的態射為函子間的自然變換。因此,可將C內類型J圖示範疇理解為一函子範疇CJ,而圖示則為該範疇內的物件。

例子[编辑]

  • 給定範疇C中的任一物件A,均能得到一個「常數圖示」,該圖示將J內的所有物件映射至A,且將J內的所有態射映射至A上的單位態射。通常使用下標來標示此類常數圖示:亦即,對C內的任一物件A,均會有一個常數圖示\underline A
  • J是一個(小)離散範疇,則類型J的圖示實際上就只是個C內物件(由J索引)的索引族。用此圖示來建構極限,其結果為;用來建構上極限,其結果為上積。因此,若J為一具有2個物件的離散範疇,其極限只會是個二元積。

參考資料[编辑]

  1. ^ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, (1999) The University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9

外部連結[编辑]