均差

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均差也称差商,是数值分析中的一个概念,可用于牛顿插值法

微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

定義[编辑]

函數y在点x_{\nu}x_{\nu+1}一階均差記作

[y_\nu, y_{\nu+1}] = \frac{[y_{\nu+1}] - [y_{\nu}]}{x_{\nu+1} - x_{\nu}}, \ \nu \in \{0, \ldots, k-1\}.

函數y在点x_{\nu}x_{\nu+1}x_{\nu+2}二階均差記作

[y_{\nu}, y_{\nu+1}, y_{\nu+2}] = \frac{[y_{\nu+1}, y_{\nu+2}] - [y_{\nu}, y_{\nu+1}]}{x_{\nu+2} - x_{\nu}}, \ \nu \in \{0, \ldots, k-2\}.

類推如此,有

[y_{\nu}, \ldots, y_{\nu+j}] = \frac{[y_{\nu+1}, \ldots, y_{\nu+j}] - [y_{\nu}, \ldots, y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j} - x_{\nu}}, \ \nu \in \{0, \ldots, k-j\}, \ j \in \{1, \ldots, k\}.

規定

[y_{\nu}] = y_{\nu}, \ \nu \in \{ 0, \ldots, k\}.

性质[编辑]

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \sum^{n}_{k=0} \frac{f(x_k)}{w^{'}_{n+1}(x_k)}

即:

f[x_0, x_1, ..., x_n] = \sum^{n}_{k=0} \frac{f(x_k)}{(x_k - x_0)...(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})...(x_k - x_n)}

性质一由数学归纳法可证。[1]

在 n 阶均差中,任意调换 xi 与 xj 次序,其值不变。性质二可由性质一推理。[2]

由于性质二,使用均差概念的牛顿插值法可以在计算过程中任意增添节点,而无拉格朗日插值法插值基函数需重算之虞。

参考[编辑]

  1. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
  2. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.