均差

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

均差(Divided differences)是遞歸除法過程。在数值分析中,也称差商Difference quotient英语Difference quotient),可用於計算牛頓多項式形式的多項式插值的係數。

定義[编辑]

給定n+1個數據點

(x_0, y_0),\ldots,(x_{n}, y_{n})

定義前向均差為:

\begin{align}
 \mathopen[y_\nu] &= y_\nu, \quad \nu \in \{ 0,\ldots,n\} \\
 \mathopen[y_\nu,\ldots,y_{\nu+j}] &= \frac{[y_{\nu+1},\ldots , y_{\nu+j}] - [y_{\nu},\ldots , y_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_\nu}, \quad \nu\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}. \\
\end{align}

定義後向均差為:

\begin{align}
 \mathopen[y_\nu] &= y_{\nu},\quad \nu \in \{ 0,\ldots,n\} \\
 \mathopen[y_\nu,\ldots,y_{\nu-j}] &= \frac{[y_\nu,\ldots , y_{\nu-j+1}] - [y_{\nu-1},\ldots , y_{\nu-j}]}{x_\nu - x_{\nu-j}}, \quad \nu\in\{j,\ldots,n\},\ j\in\{1,\ldots,n\}. \\
\end{align}

表示法[编辑]

假定數據點給出為函數 ƒ,

(x_0, f(x_0)),\ldots,(x_{n}, f(x_{n}))

其均差可以寫為:

\begin{align}
 f[x_\nu] &= f(x_{\nu}), \qquad \nu \in \{ 0,\ldots,n \} \\
 f[x_\nu,\ldots,x_{\nu+j}] &= \frac{f[x_{\nu+1},\ldots , x_{\nu+j}] - f[x_\nu,\ldots , x_{\nu+j-1}]}{x_{\nu+j}-x_\nu}, \quad \nu\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}.
\end{align}

對函數 ƒ 在節點 x0, ..., xn 上的均差還有其他表示法,如:

\begin{matrix}
 \mathopen [x_0,\ldots,x_n]f \\
\mathopen [x_0,\ldots,x_n;f] \\
\mathopen D[x_0,\ldots,x_n]f \\
\end{matrix}

例子[编辑]

給定ν=0:


\begin{align}
  \mathopen[y_0] &= y_0 \\
  \mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \\
  \mathopen[y_0,y_1,y_2] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2]-\mathopen[y_0,y_1]}{x_2-x_0} \\
  \mathopen[y_0,y_1,y_2,y_3] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2,y_3]-\mathopen[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_0} \\
  \mathopen[y_0,y_1,\dots,y_n] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2,\dots,y_n]-\mathopen[y_0,y_1,\dots,y_{n-1}]}{x_n-x_0}
\end{align}

為了使涉及的遞歸過程更加清楚,以列表形式展示均差的計算過程[1]


\begin{matrix}
x_0 & [y_0] = y_0 &           &               & \\
        &       & [y_0,y_1] &               & \\
x_1 & [y_1] = y_1 &           & [y_0,y_1,y_2] & \\
        &       & [y_1,y_2] &               & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\
x_2 & [y_2] = y_2 &           & [y_1,y_2,y_3] & \\
        &       & [y_2,y_3] &               & \\
x_3 & [y_3] = y_3 &           &               & \\
\end{matrix}

性质[编辑]

\begin{align}
(f+g)[x_0,\dots,x_n] &= f[x_0,\dots,x_n] + g[x_0,\dots,x_n] \\
(\lambda\cdot f)[x_0,\dots,x_n] &= \lambda\cdot f[x_0,\dots,x_n] \\
\end{align}
(f\cdot g)[x_0,\dots,x_n] = f[x_0]\cdot g[x_0,\dots,x_n] + f[x_0,x_1]\cdot g[x_1,\dots,x_n] + \dots + f[x_0,\dots,x_n]\cdot g[x_n]
 \exists \xi \in (\min\{x_0,\dots,x_n\},\max\{x_0,\dots,x_n\}) \quad  f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}

展開形式[编辑]

數學歸納法可證明[2]


\begin{align}
\mathopen[y_0] &= y_0 \\
\mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_0}{x_0-x_1} + \frac{y_1}{x_1-x_0} \\
\mathopen[y_0,y_1,y_2] &= \frac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + \frac{y_1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + \frac{y_2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\
\mathopen[y_0, y_1,\dots, y_n] &=\sum_{j=0}^{n} \frac{y_j}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n} x_j-x_k} \\
\end{align}

此公式體現了均差的對稱性質。[3]故可推知:任意调换數據點次序,其值不变。[4]

等價定義[编辑]

通過對換 n 阶均差中(x0,y0)与(xn-1,yn-1),可得到等價定義:


\begin{align}
  \mathopen[y_0,y_1,\dots,y_{n-1},y_n] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2,\dots,y_n]-\mathopen[y_0,y_1,\dots,y_{n-1}]}{x_n-x_0} \\
  &= \frac{\mathopen[y_0,\dots,y_{n-2},y_n]-\mathopen[y_0,y_1,\dots,y_{n-1}]}{x_n-x_{n-1}} \\
\end{align}

這個定義有著不同的計算次序:


\begin{align}
  \mathopen[y_0] &= y_0 \\
  \mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \\
  \mathopen[y_0,y_1,y_2] &=  \frac{\mathopen[y_0,y_2]-\mathopen[y_0,y_1]}{x_2-x_1} \\
  \mathopen[y_0,y_1,y_2,y_3] &= \frac{\mathopen[y_0,y_1,y_3]-\mathopen[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_2} \\
  \mathopen[y_0,y_1,\dots,y_n] &= \frac{\mathopen[y_0,\dots,y_{n-2},y_n]-\mathopen[y_0,y_1,\dots,y_{n-1}]}{x_n-x_{n-1}} \\
 \end{align}

以列表形式展示這個定義下均差的計算過程[5]


\begin{matrix}
x_0 & [y_0] = y_0 &           &               & \\
        &       & [y_0,y_1] &               & \\
x_1 & [y_1] = y_1 &           & [y_0,y_1,y_2] & \\
        &       & [y_0,y_2] &               & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\
x_2 & [y_2] = y_2 &           & [y_0,y_1,y_3] & \\
        &       & [y_0,y_3] &               & \\
x_3 & [y_3] = y_3 &           &               & \\
\end{matrix}

牛頓插值法[编辑]

自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

使用均差的牛顿插值法為:

\begin{align}
N(x) &= y_0 + (x-{x}_{0})\left([{y}_{0}, {y}_{1}] + (x-{x}_{1})\left([{y}_{0}, {y}_{1},{y}_{2}] + \cdots\right)\right) \\
 &=[y_0]+[{y}_{0}, {y}_{1}](x-{x}_{0})+\cdots+[{y}_{0},{y}_{1},\ldots,{y}_{n}]\prod_{k=0}^{n-1} x-{x}_{k}
\end{align}

可以在计算过程中任意增添节点如點(xn+1,yn+1),只需計算新增的n+1階均差及其插值基函數,而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

對均差採用展開形式:

\begin{align}
 N(x) &= y_0 + y_0\frac{x-{x}_{0}}{x_0-x_1}+ y_1\frac{x-{x}_{0}}{x_1-x_0}+\cdots+ \sum_{j=0}^{n} y_j  \frac{\prod_{k=0}^{n-1} x-{x}_{k}} {\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n} x_j-x_k} \\
\end{align}

以2階均差牛頓插值為例:

\begin{align}
 N(x)&=y_0\left(1+ \frac{x-{x}_{0}}{x_0-x_1}+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\right) + y_1\left(\frac{x-{x}_{0}}{x_1-x_0}+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\right) + y_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\
 &=y_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\
 &= \sum_{j=0}^{2} y_j  \prod_{\begin{smallmatrix} k=0 \\ k\neq j \end{smallmatrix}}^{2} \frac{x-{x}_{k}} { x_j-x_k}  \\
\end{align}

前向差分[编辑]

當數據點呈等距分佈的時候,這個特殊情況叫做“前向差分”。它們比計算一般的均差要容易。

定義[编辑]

給定n+1個數據點

(x_0, y_0),\ldots,(x_{n}, y_{n})

有著

x_i = x_0 + ih , \quad  h > 0 \mbox{ , } 0 \le i \le n.

定義前向差分為:

\begin{align}
 \triangle^{0}y_{i} &= y_{i} \\
 \triangle^{k}y_{i} &= \triangle^{k-1}y_{i+1} - \triangle^{k-1}y_{i} , \quad 1 \le k \le n-i.\\
\end{align}

例子[编辑]


\begin{matrix}
y_0 &               &                   &                  \\
    & \triangle y_0^{1} &                   &                  \\
y_1 &               & \triangle^{2} y_0 &                  \\
    & \triangle y_1^{1} &                   & \triangle^{3} y_0\\
y_2 &               & \triangle^{2} y_1 &                  \\
    & \triangle y_2^{1} &                   &                  \\
y_3 &               &                   &                  \\
\end{matrix}

展開形式[编辑]

差分的展開形式是均差展開形式的特殊情況[6]

\begin{align}
  \triangle^{k}y_{i} &= \sum_{j = 0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} y_{i+j}, \quad 0 \le k \le n-i  
\end{align}

這裡的表達式

{n \choose k} = \frac{(n)_k}{k!} \quad\quad (n)_k=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)

二項式係數,其中的(n)k是“下降階乘冪”,空乘積(n)0被定義為1。

插值公式[编辑]

其對應的牛頓插值公式為:

\begin{align}
f(x) &= y_0 + \frac {x-x_0} {h} \left( \Delta^1y_0 + \frac {x-x_0-h} {2h}\left(\Delta^2y_0 + \cdots \right) \right) \\
 &= y_0 + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta^ky_0}{k!h^k} \prod_{i=0}^{n-1} (x-x_0-ih) \\
 &= y_0 + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta^ky_0}{k!} \prod_{i=0}^{n-1} (\frac{x-x_0}{h}-i) \\
 &= \sum_{k=0}^n {\frac{x-x_0}{h} \choose k}~ \Delta^k y_0 \\
\end{align}

無窮級數[编辑]

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研討了“有限差分”方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差的步長取趨於0的極限,得出:


\begin{align}
f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(a) \frac{(x-a)^k}{k!}. \\
\end{align}

冪函數的均差[编辑]

使用普通函數記號表示冪运算,p_n(x) = x^n,有:


\begin{align}
p_j[x_0,\dots,x_n] &= 0 \qquad \forall j<n\\
p_n[x_0,\dots,x_n] &= 1 \\
p_{n+1}[x_0,\dots,x_n] &= x_0 + \dots + x_n \\
p_{n+m}[x_0,\dots,x_n]&= \sum_{k_0+\cdots+k_n=m} \begin{matrix} \prod_{t=0}^nx_{t}^{k_{t}} \end{matrix} \\
\end{align}

此中n+1元m次齊次多項式的記法同於多項式定理

泰勒形式[编辑]

泰勒級數和任何其他的函數級數,在原理上都可以用來逼近均差。將泰勒級數表示為:

f = f(0) p_0 + f'(0) p_1 + \frac{f''(0)}{2!} p_2 + \dots

均差的泰勒級數為:

f[x_0,\dots,x_n] = f(0)p_0[x_0,\dots,x_n] + f'(0) p_1[x_0,\dots,x_n] + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} p_n[x_0,\dots,x_n] + \dots

n項消失了,因為均差的階高於多項式的階。可以得出均差的泰勒級數本質上開始於:

\frac{f^{(n)}(0)}{n!}

依據均差中值定理,這也是均差的最簡單逼近。

皮亞諾形式[编辑]

均差還可以表達為

f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^{x_n} f^{(n)}(t)B_{n-1}(t) \, dt

這裡的Bn-1是數據點x0,...,xn的n-1次B樣條,而f(n)是函數f的n階導數。這叫做均差的皮亞諾形式,而Bn-1是均差的皮亞諾核。

註釋與引用[编辑]

  1. ^
    
\begin{array}{lcl}
{ \begin{matrix} 
x_0 & x_0^2 &           &               \\
  &       &  x_0+x_1 &             & \\
x_1 & x_1^2 &         & 1 & \\
      & & x_1+x_2 &               & 0 \\
x_2 & x_2^2 &            & 1 &  \\
   & & x_2+x_3 &               &  & \\
x_3 & x_3^2 &           &       & \\
\end{matrix} } \\
 \\
{ \begin{matrix}
x_0 & x_0^n &    \\
  &       &  \sum_{i=0}^{n-1}x_0^{n-1-i}x_1^i \\
x_1 & x_1^n & \\
\end{matrix} } \\
\\
{ \begin{matrix}
x_0 & x_0^{n+1} &    \\
  &       &  \frac{x_1^{n+1}-x_1x_0^n+x_1x_0^n-x_0^{n+1}}{x_1-x_0} =x_1\sum_{i=0}^{n-1}x_0^{n-1-i}x_1^i+x_0^n=\sum_{i=0}^{n}x_0^{n-i}x_1^i \\
x_1 & x_1^{n+1} & \\
\end{matrix} } \\
\\
{ \begin{matrix} 
x_0 & x_0^3 &           &               &  & \\
  &       & x_0^2+x_0x_1+x_1^2 &               & \\
x_1 & x_1^3 &           & x_0+x_1+x_2 &  & \\
      & & x_1^1+x_1x_2+x_2^2 &               & 1 & \\
x_2 & x_2^3 &           & x_1+x_2+x_3 &  & 0 \\
   & & x_2^2+x_2x_3+x_3^2 &               & 1 & \\
x_3 & x_3^3 &           &       x_2+x_3+x_4  &  & \\
    & & x_3^2+x_3x_4+x_4^2 &     &  & \\
x_4 & x_4^3 &           &               &  & \\
\end{matrix} } \\
 \\
{ \begin{matrix} 
x_0 & x_0^4 &  &           &               &  & \\
    & &   x_0^3+x_0^2x_1+x_0x_1^2+x_1^3    &   &             & \\
x_1 & x_1^4 &  &      x_0^2+x_0x_1+x_1^2+x_1x_2+x_2^2 +x_0x_2   & &  & \\
      &  & x_1^3+x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_2^3   &   & x_0+x_1+x_2+x_3  & \\
x_2 & x_2^4 &  &      x_1^2+x_1x_2+x_2^2 +x_2x_3+x_3^2 +x_1x_3     &  & 1 &  \\
   & & x_2^3+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_3^3  &  &  x_1+x_2+x_3+x_4    &  & 0 \\
x_3 & x_3^4 &  &     x_2^2+x_2x_3+x_3^2 +x_3x_4+x_4^2 +x_2x_4    &      & 1 & \\
   & &  x_3^3+x_3^2x_4+x_3x_4^2+x_4^3  &  & x_2+x_3+x_4+x_5     &  & \\
x_4 & x_4^4 &  &    x_3^2+x_3x_4+x_4^2  +x_4x_5+x_5^2 +x_3x_5      &     &  & \\
    & &  x_4^3+x_4^2x_5+x_4x_5^2+x_5^3  &  &     &  & \\
x_5 & x_5^4 & &         &               &  & \\
\end{matrix} } \\
\\
{ \begin{matrix} 
x_0 & x_0^5 &  &           &               &  &  &\\
    & &  \sum_{i=0}^{4}x_0^{4-i}x_1^i  &   &             & &\\
x_1 & x_1^5 &  & \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3-i}x_0^{3-i-j}x_1^jx_2^i    & &  & &\\
      &  & \sum_{i=0}^{4}x_1^{4-i}x_2^i  &   & \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2-i}\sum_{k=0}^{2-i-j}x_0^{2-i-j-k}x_1^kx_2^jx_3^i  & & &\\
x_2 & x_2^5 &  &     \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3-i}x_1^{3-i-j}x_2^jx_3^i  &  & \sum_{i=0}^4x_i &  &\\
   & & \sum_{i=0}^{4}x_2^{4-i}x_3^i  &  &  \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2-i}\sum_{k=0}^{2-i-j}x_1^{2-i-j-k}x_2^kx_3^jx_4^i   &  & 1 &\\
x_3 & x_3^5 &  &     \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3-i}x_2^{3-i-j}x_3^jx_4^i     &      &  \sum_{i=1}^5x_i & & 0\\
   & &  \sum_{i=0}^{4}x_3^{4-i}x_4^i  &  & \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2-i}\sum_{k=0}^{2-i-j}x_2^{2-i-j-k}x_3^kx_4^jx_5^i      &  &1 &\\
x_4 & x_4^5 &  &    \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3-i}x_3^{3-i-j}x_4^jx_5^i     &     &  \sum_{i=2}^6x_i & &\\
    & &  \sum_{i=0}^{4}x_4^{4-i}x_5^i &  &   \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2-i}\sum_{k=0}^{2-i-j}x_3^{2-i-j-k}x_4^kx_5^jx_6^i   &  & &\\
x_5 & x_5^5 & &    \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3-i}x_4^{3-i-j}x_5^jx_6^i    &               &  & &\\
    & &  \sum_{i=0}^{4}x_5^{4-i}x_6^i  &  &     &  & &\\
x_6 & x_6^5 & &         &               &  & &\\
\end{matrix} } \\
\end{array}
  2. ^
    
\begin{align}
\mathopen[y_0] &= y_0 \\
\mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \\
 &= \frac{y_0}{x_0-x_1} + \frac{y_1}{x_1-x_0} \\
\mathopen[y_0,y_1,y_2] &= \frac{\frac{y_1}{x_1-x_2} + \frac{y_2}{x_2-x_1} - \frac{y_0}{x_0-x_1} - \frac{y_1}{x_1-x_0}}{x_2-x_0} \\
 &= \frac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + \frac{y_1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + \frac{y_2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\
\mathopen[y_0, y_1,\dots, y_n] &=\sum_{j=0}^{n} \frac{y_j}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n} x_j-x_k} \\
\mathopen[y_0, y_1,\dots, y_{n+1}] &=\frac{\sum_{j=1}^{n+1} \frac{y_j}{\prod_{k=1,\, k\neq j}^{n+1} x_j-x_k} - \sum_{j=0}^{n} \frac{y_j}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n} x_j-x_k}}{x_{n+1}-x_0} \\
 &= \frac{\frac {y_{n+1}}{\prod_{k=1}^{n} x_{n+1}-x_k} + \sum_{j=1}^{n} y_j\left(\frac{1}{\prod_{k=1,\, k\neq j}^{n+1} x_j-x_k}-\frac{1}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n} x_j-x_k}\right)  - \frac{y_0}{\prod_{k=0}^{n} x_0-x_k}}{x_{n+1}-x_0} \\
 &= \frac{\frac {y_{n+1}}{\prod_{k=1}^{n} x_{n+1}-x_k} + \sum_{j=1}^{n} y_j\left(\frac{x_j-x_0}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n+1} x_j-x_k}-\frac{x_j-x_{n+1}}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n+1} x_j-x_k}\right)  - \frac{y_0}{\prod_{k=0}^{n} x_0-x_k}}{x_{n+1}-x_0} \\
 &=\sum_{j=0}^{n+1} \frac{y_j}{\prod_{k=0,\, k\neq j}^{n+1} x_j-x_k}
\end{align}
  3. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
  4. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.
  5. ^
    
\begin{matrix}
x_0 & x_0^3 &           &               &  & \\
  &       & x_0^2+x_0x_1+x_1^2 &               & \\
x_1 & x_1^3 &           & x_0+x_1+x_2 &  & \\
      & & x_0^2+x_0x_2+x_2^2 &               & 1 & \\
x_2 & x_2^3 &           & x_0+x_1+x_3 &  & 0 \\
   & & x_0^2+x_0x_3+x_3^2 &               & 1 & \\
x_3 & x_3^3 &           &       x_0+x_1+x_4  &  & \\
    & & x_0^2+x_0x_4+x_4^2 &     &  & \\
x_4 & x_4^3 &           &               &  & \\
\end{matrix}
  6. ^
    \begin{align}
 \triangle^{k}y_{i} &= \sum_{j = 0}^{k} \frac{k!}{\prod_{l=0,\, l\neq j}^{k} j-l} y_{i+j}, \quad 0 \le k \le n-i \\
  &= \sum_{j = 0}^{k} \frac{k!}{j!(-1)^{k-j}(k-j)!} y_{i+j}, \quad 0 \le k \le n-i \\
  &= \sum_{j = 0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} y_{i+j}, \quad 0 \le k \le n-i  
\end{align}

參見[编辑]