本页使用了标题或全文手工转换

坡印亭定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

坡印亭定理约翰·坡印亭John Poynting[1]发现的关于电磁场能量守恒的定理。它把能量密度u的时间导数,与能量的流动,以及与电磁场做功的速率联系起来。由以下的公式总结:

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}

其中S坡印亭矢量,表示能量的流动,J电流密度E电场。能量密度u为(符号ε0真空電容率,μ0真空磁导率):

u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right).

由于磁场不做功,等式的右端便给出了电磁场每秒·米3所做的总功的负值。

积分形式的坡印亭定理为:

\frac{\partial}{\partial t} \int_V u \  dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \  d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV

其中\partial V \!是包围着体积V \!的曲面。

在电机工程中,该定理通常写成以下把能量密度u展开的形式,這與流體力學之连续性方程相似:


\nabla\cdot\mathbf{S} + 
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0

推导[编辑]

这个定理可以从麦克斯韦方程组中的两个方程推出。首先考虑法拉第电磁感应定律

\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

两边取与\mathbf{B}点积,得:

\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

接着考虑安培定律

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

两边取与\mathbf{E}点积,得:

\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} +  \mathbf{E} \cdot \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

第一个方程减去第二个方程,得:


\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - 
\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

最后,根据乘积法则(两个矢量的叉积散度),可得:


- \nabla\cdot\ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B}  ) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

由于坡印亭矢量\mathbf{S}定义为:

 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}

因此与以下是等价的:


\nabla\cdot\mathbf{S} + 
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Poynting, J. H. On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field. Phil. Trans. 1884, 175: 277. 

外部链接[编辑]