垂直軸定理

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物理學裏,垂直軸定理(也叫“正交轴定理”)可以用來計算一片薄片的轉動慣量。思考一個直角座標系,其中兩個座標軸都包含與平行於此薄片;如果已知此薄片對於這兩個座標軸的轉動慣量,則垂直軸定則可以用來計算薄片對於第三個座標軸的轉動慣量。

假設OXYZ座標系統的 X-軸與 Y-軸都包含與平行於此薄片,而 Z-軸垂直於薄片的面。I_X\,\!I_Y\,\! 分別代表薄片對於 X-軸與 Y-軸的轉動慣量.那麼,薄片對於 Z-軸的轉動慣量為

I_Z=I_X+I_Y\,\!

垂直軸定理、平行軸定理、與伸展定則可以用來計算許多不同形狀的物體的轉動慣量。

導引[编辑]

厚度很薄的薄片

任何實際存在的剛體都有厚度;不可能有零厚度的剛體。參考右圖,假設這剛體是一塊很薄的薄片,厚度 t\,\! 是均勻的,密度也是均勻的。設定薄片的面與 XY-面共平面。那麼,剛體對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為

I_X=\int (y^2+z^2)\;dm\,\!
I_Y=\int (x^2+z^2)\;dm\,\!
I_Z=\int (x^2+y^2)\;dm\,\!

由於厚度超小於薄片的面尺寸,我們可以忽略 Z^2\,\! 對於積分的貢獻.因此,

I_X\approx\int y^2\;dm\,\!
I_Y\approx\int x^2\;dm\,\!

所以,

I_Z=I_X+I_Y\,\!

實例[编辑]

薄圓盤

a) 如右圖,一個半徑為 r\,\!,質量為 m\,\! 的薄圓盤,對於 Z-軸的轉動慣量為

I_Z=\frac{1}{2}mr^2\,\!

所以,對於X-軸與 Y-軸的轉動慣量是

I_X=I_Y=\frac{I_Z}{2}=\frac{1}{4}mr^2\,\!
長方形薄片

b) 如右圖,一個尺寸為 a\times b\,\!,質量為 m\,\! 的長方形薄片,對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為

I_X=\frac{1}{12}ma^2\,\!
I_Y=\frac{1}{12}mb^2\,\!
I_Z=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)\,\!

很明顯地,

I_Z=I_X+I_Y\,\!

參閱[编辑]

轉動慣量列表