埃奇沃斯級數

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埃奇沃斯級數(Edgeworth series)是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。它和 Gram-Charlier A series 一樣,是把一個隨機變數的機率密度函數展成級數,級數中的每一項是用該隨機變數的 cumulants 來表達。對同一個分布,Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯級數展出來是同樣的級數,只是項的排列不同。(也因此只取前幾項作為逼近時的誤差會有所不同)

Gram-Charlier A series[编辑]

Gram-Charlier A series 的主要想法,是把待逼近分布(以F 為它的密度函數)的特徵方程,寫成另一個已知分布的特徵方程的展式,再經過傅立葉變換的逆變換,就可以求得F 的展式。

假設f 是待逼近分布的特徵方程,\kappa_r是這個分布的 累积量。現在將它展成和另一個已知分布相關的級數。該已知分布的密度函數為 \Psi,特徵函数為 \psi,累积量 為 \gamma_r。常見的作法是選用正态分布作為已知分布,但事實上選用其它的分布函數也是可行的。由 累积量 的定義,下列這個等式是恆成立的:

f(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r-\gamma_r)\frac{(it)^r}{r!}\right]\psi(t)\,.

由傅立葉變換的性質,(it)rψ(t) 是 (−1)r Dr \Psi(x) 的傅立葉變換,其中 D 代對 x 的微分算子。這樣我們就得到 F 的一個級數

F(x) = \exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r - \gamma_r)\frac{(-D)^r}{r!}\right]\Psi(x)\,.

如果令 \Psi 為正态分布的密度函數且其期望值和方差与分布 F相同,也就是說,期望值 μ = κ1,變異數 σ2 = κ2,則此展式變成

 F(x) = \exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right]\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right]\,.

再將指數函數展開並按微分階數逐項列出,就得到 Gram-Charlier A series。例如,選用正態分布做為已知分布,展到前兩項就可以得到

 F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\left[1+\frac{\kappa_3}{3!\sigma^3} H_3\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{\kappa_4}{4!\sigma^4}H_4\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\,,

其中 H3(x) = x3 − 3xH4(x) = x4 − 6x2 + 3 (即埃爾米特多項式)

注意到以上的 series 並不保證函数值恆正,所以事实上並不一定是一個密度函數。在許多情況下,Gram-Charlier A series 會發散—仅當 x 趨近無限大時 F(x) 遞降的比 exp(−x2/4) 快時它才會收斂 (Cramér 1957)。當它不收斂時,這不是一個真正的漸近展式,因為要估計這個展式的誤差是不可能的。因此,一般的情況埃奇沃斯級數(見下一節)比 Gram-Charlier A series 更常用。

延伸阅读[编辑]

  • H. Cramér (1957). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton.
  • D. L. Wallace (1958). "Asymptotic approximations to distributions". Annals of Mathematical Statistics 29:635–654.
  • M. Kendall & A. Stuart (1977), The advanced theory of statistics, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York
  • P. McCullagh (1987). Tensor Methods in Statistics. Chapman and Hall, London.
  • D. R. Cox and O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics. Chapman and Hall, London.
  • P. Hall (1992). The Bootstrap and Edgeworth Expansion. Springer, New York.
  • S. Blinnikov and R. Moessner (1998). Expansions for nearly Gaussian distributions. Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 130:193–205.
  • J. E. Kolassa (2006). Series Approximation Methods in Statistics, 3rd Edition. (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.