埃尔德什－莫德尔不等式

如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍

在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。

历史

该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

证明

如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段$OA$、$OB$、$OC$的长度分别是$x$、$y$、$z$，线段$OD$、$OE$、$OF$的长度分别是$p$、$q$、$r$，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

$x+y+z \ge 2(p+q+r)$

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。

首先，由于$OF$垂直于$AF$，$OE$垂直于$AE$，A、F、O、E四点共圆且$OA$为直径，因此线段$\displaystyle EF = OA \sin A = x \sin A$（角A为顶点A对应的内角）。

过点F、E作关于$BC$的垂线交$BC$于X、Y。过O作$BC$的平行线分别交$FX$、$EY$于$U$、$V$。由于$OF$垂直于$AF$，$OE$垂直于$AE$，$\angle UFO = \angle B$，$\angle VEO = \angle C$。于是：

$UV = UO + OV = OF \sin \angle UFO + OE \sin \angle VEO = r\sin B + q\sin C$

另一方面，注意到在直角梯形中$FUVE$中，斜腰$EF$的长度大于等于直角腰$UV$。因此：

$x \sin A = EF \ge UV = r\sin B + q\sin C$

$x \ge r\frac{\sin B}{\sin A} + q\frac{\sin C}{\sin A}$

类似地，还有：

$y \ge r\frac{\sin A}{\sin B} + p\frac{\sin C}{\sin B}$，$z \ge p\frac{\sin B}{\sin C} + q\frac{\sin A}{\sin C}$

三式相加，得到：

$x+y+z \ge r\left(\frac{\sin B}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin B} \right) + q\left( \frac{\sin C}{\sin A}+ \frac{\sin A}{\sin C} \right) + p\left( \frac{\sin C}{\sin B} + \frac{\sin B}{\sin C} \right)$

根据均值不等式，$\left(\frac{\sin B}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin B} \right) \ge 2$，等等，于是最终得到：

$x+y+z \ge 2(p+q+r)$

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。

参考来源

• （英文）Claudi Alsina，Roger B. Nelsen. A Visual Proof of the Erd˝os-Mordell. InequalityForum Geometricorum，Volume 7 (2007) 99–102. (埃尔德什-莫德尔不等式的历史和一个可视化证明)
• （英文）George Tsintsifas, Thessaloniki, Greece. The Erdos-Mordell inequality. 埃尔德什-莫德尔不等式的历史和若干个证明。
• O. Bottema (and others). Geometric inequalities. Groningen, Wolters-Noordhoff. 1969.