埃尔米特伴随

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数学上,特别是泛函分析中,希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子adjoint operator)。算子的伴随将方块矩阵共轭转置推广到(可能)无穷维情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”,则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。

一个算子A的伴随常常也称为埃尔米特伴随Hermitian adjoint,以夏尔·埃尔米特命名),记作A*A(后者尤其用于狄拉克符号记法)。

有界算子[编辑]

假設H是一個希爾伯特空間,帶有內積 \langle\cdot,\cdot\rangle。考慮連續線性算子A : HH(這與有界算子相同)。

利用里斯表示定理,我們可以證明存在惟一的連續線性算子

A* : HH具有如下性質:

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang,对所有 x,y\in H

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛伴隨矩陣推廣,在標準(復)內積下具有相似的性質。

性质[编辑]

马上可得的性质

  1. A** = A
  2. A可逆,则A* 也可逆,且 (A*)−1 = (A−1)*
  3. (A + B)* = A* + B*
  4. A)* = λ* A*,这里λ* 表示复数λ的复共轭
  5. (AB)* = B* A*

如果我们定义A算子范数

 \| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}

 \| A^* \| _{op} = \| A \| _{op} ,

而且有

 \| A^* A \| _{op} = \| A \| _{op}^2

希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A与它的伴随的的关系为

 \ker A^* = \left( \operatorname{im}\ A \right)^\bot ,
 \left( \ker A^* \right)^\bot = \overline{\operatorname{im}\ A}

第一个等式的证明:

\begin{align}
A^* x = 0 &\iff
\langle A^*x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in H \\ &\iff
\langle x,Ay \rangle = 0 \quad \forall y \in H \\ &\iff
x\ \bot \ \operatorname{im}\ A
\end{align}

第二个等式由第一个推出,于两边取正交空间即可。注意到一般地,像未必是闭的,但连续算子的核总是闭的。

埃尔米特算子[编辑]

有界算子A: HH称为埃尔米特或自伴如果

A = A*

这等价于

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang, \forall x,y\in H

在某种意义下,这种算子起着实数(等于他们的复共轭)的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

无界算子的伴随[编辑]

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形,我们仍然能定义伴随,在自伴算子一文有解释。

其他伴随[编辑]

范畴论中,方程

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang

形式上类似地定义了伴随函子偶性质,这也是伴随函子得名之由来。

又见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006