埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

定义

前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。

埃尔米特多项式有两种常见定义。第一种是：

$(1)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!$

这是概率论中较为常用的形式（记作：$H_n^\mathrm{prob}(x)$）。有时也会使用另一种定义：

$(2)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!$

这是物理学中较为常用的形式（记作：$H_n^\mathrm{phys}(x)$。这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是：

$H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x).\,\!$

下文中一般会使用第一种定义，也是概率学家偏好的定义。因为

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。

前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。

前六个概率学的埃尔米特多项式的表达式为：

概率学和物理学中的埃尔米特多项式

序号	概率学	物理学
$H_0(x)$	$1\,$	$1\,$
$H_1(x)$	$x\,$	$2x\,$
$H_2(x)$	$x^2-1\,$	$4x^2-2\,$
$H_3(x)$	$x^3-3x\,$	$8x^3-12x\,$
$H_4(x)$	$x^4-6x^2+3\,$	$16x^4-48x^2+12\,$
$H_5(x)$	$x^5-10x^3+15x\,$	$32x^5-160x^3+120x\,$

性质

多项式H_n 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2ⁿ。

正交性

多项式H_n 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

$w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!$   （对于概率论的埃尔米特多项式）

$w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!$   （对于物理学的埃尔米特多项式）

也就是说，当m ≠ n 时：

$\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0$

除此之外，还有：

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = n! \, \sqrt{2 \pi}$   （对于概率论的埃尔米特多项式）

$\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}$   （对于物理学的埃尔米特多项式）

完备性

在所有满足

$\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x <\infty$

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

$\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x$

參考文獻

• Arfken, Mathematical Methods for Physicists
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
• Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
• Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience. 1953 .
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill. 1955 
• Fedoryuk, M.V., 埃尔米特多项式//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 .
• Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society. 1939, 1955 
• Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications. 1958, ISBN 0-486-60272-9 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press. 1962. 
• Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 埃尔米特多项式 at MathWorld