埃尔米特多项式

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数学中,埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族,得名于法国数学家夏尔·埃尔米特概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中,埃尔米特多项式给出了量子谐振子本征态

定义[编辑]

前六个(概率论中的)埃尔米特多项式的图像。

埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是概率论中较为常用的形式(又记作:H_n^\mathrm{prob}(x)):

(1)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!

另一种是物理学中较为常用的形式(又记作:H_n^\mathrm{phys}(x)):

(2)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!


这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是:

H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x).\,\!

概率论中常用第一种定义,因为\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}是标准正态分布函数(数学期望等于0,标准差等于1)的概率密度函数

前六个(物理学中的)埃尔米特多项式的图像。
前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式
序号 概率学 物理学
H_0(x) 1\, 1\,
H_1(x) x\, 2x\,
H_2(x) x^2-1\, 4x^2-2\,
H_3(x) x^3-3x\, 8x^3-12x\,
H_4(x) x^4-6x^2+3\, 16x^4-48x^2+12\,
H_5(x) x^5-10x^3+15x\, 32x^5-160x^3+120x\,

性质[编辑]

多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式(最高次项系数等于1),而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n

正交性[编辑]

多项式Hn 的次数与序号n 相同,所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w,埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!   (概率论)
w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!   (物理学)

也就是说,当m ≠ n 时:

\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0

除此之外,还有:

\int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{prob}(x) H_n^\mathrm{prob}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = n! \, \sqrt{2 \pi}\delta_{mn}   (概率论)
\int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{phys}(x) H_n^\mathrm{phys}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\delta_{mn}   (物理学)

其中\delta_{mn}克罗内克函数

从上式可以看到,概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性[编辑]

在所有满足

\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x <\infty

的函数所构成的完备空间中,埃尔米特多项式序列构成一组。其中的内积定义如下:

\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x

埃尔米特微分方程[编辑]

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0

方程的的边界条件为:u应在无穷远处有界。

其中\lambda是这个方程的本征值,是一个常数。要满足上述边界条件,应取\lambda\mathbb{N}。对于一个特定的本征值\lambda,对应着一个特定的本征函数解,即H_\lambda^{prob}(x)

物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

u'' - 2xu'+2\lambda u=0

其本征值同样为\lambda\mathbb{N},对应的本征函数解为H_\lambda^{phys}(x)

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程

參考文獻[编辑]

  • Arfken, Mathematical Methods for Physicists
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
  • Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
  • Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 .
  • Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955 
  • Fedoryuk, M.V., 埃尔米特多项式// (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, 2001, ISBN 978-1556080104 .
  • Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 
  • Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. 
  • Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

外部链接[编辑]