域扩张

数学中，更确切地说是抽象代数中，域扩张（field extensions）是域论中主要研究对象。一般想法是从一个基域开始以某种方式构造包含基域的更大的域并满足一些其它性质。

域扩张可以推广为环扩张，由一个环及其一个子环组成。

定义

设 L 是一个域。如果 K 是 L 的一个子集在域 L 中的加法与乘法运算封闭且 K 中每个元素的加法与乘法逆仍在 K 中，则我们说 K 是 L 的一个子域，L 是 K 的一个扩张域，而 L /K，读作“L over K”，是一个域扩张。

如果 L 是 F 的一个扩张，而 F 是 K 的一个扩张，则称 F 是域扩张 L/K 的一个中间域（或中间扩张或子扩张）。

给定一个域扩张 L /K 以及 L 的一个子集 S，我们记 K(S) 为 L 包含 K 与 S 的最小子域。我们说 K(S) 由将 S 中元素添加到 K 中生成。如果 S 只包含一个元素 s，我们通常将 K({s}) 记成 K(s)。这样形式的域扩张 L=K(s) 称为单扩张，而 s 称为这个扩张的本原元。

给定一个域扩张 L /K，则 L 也可视为 K 上一个向量空间。L 中的元素是向量而 K 中的元素是数量。向量加法就是 L 中加法，数量乘法是用 K 中的元素乘以 L 中的元素。这个向量空间的维数称为扩张的度数，记作 [L : K]。

度数 1 的扩张（即 L 等于 K）称为平凡扩张。度数为 2 和 3 的扩张分别称为二次扩张与三次扩张。由度数是有限或无限决定一个扩张称为有限扩张或无限扩张。

注释

符号 L /K 纯粹是形式的，不表示商环或商群，或其他任何形式的除法。在某些文献中使用记号 L:K。

经常希望在较小的域不是包含在较大的域中但是自然嵌入时谈论域扩张。为此，抽象地定义域扩张为两个域之间的一个单环同态。域之间的任何环同态是单射，故域扩张正好是域范畴中的态射。

下面，我们将忽略单同态，假设我们处理的是真正的子域。

例子

复数域 C 是实数域 R 的一个扩张域，而 R 自己是有理数 Q 的一个扩张域。这样，显然 C/Q 也是一个域扩张。我们有 [C : R] = 2 因为是 {1,i } 一个基，故扩张 C/R 是有限的。这是一个单扩张因为 C=R(i )。[R : Q] = $\mathfrak c$（连续统的势），故此扩张是无限的。

集合 Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} 是 Q 的一个扩张域，显然也是一个单扩张。度数是 2 因为 {1, √2} 可作为一个基。Q 的有限扩张也称为代数数域，在数论有重要地位。

有理数的另一个很不同的扩张域是关于一个素数 p 的 p-进数域 Q_p。

为了制造一个给定多项式 f(X) 的根，通常将一个给定域 K 的一个扩张域构造为多项式环 K[X] 的一个商环。譬如假设 K 不包含任何元素 x 使得 x ² = −1。则多项式 X ² + 1 在 K[X] 中不可约，这样由此多项式生成的理想是极大的，而 L = K[X]/(X ² + 1) 是 K 的一个扩张域并包含一个元素其平方是 −1（X 的同余类）。

通过迭代上述构造，我们可以对 K[X] 中任何多项式构造分裂域。这是 K 的一个域扩张 L，在 L 中给定的那个多项式可写成线性因式的乘积。

如果 p 是任何素数而 n 是一个正整数，我们有一个有限域 GF(p ⁿ)，有 p ⁿ 个元素；这是 p 个元素的有限域 GF(p) = Z/pZ 的一个扩张域。

给定域 K，我们可考虑变量 X 的 K 系数有理函数域 K(X)；K(X) 的元素是 K上两个多项式的分式，事实上 K(X) 是多项式环 K[X] 的分式域。这个有理函数域是 K 的一个扩张域，这是一个无限扩张。

给定一个黎曼曲面 M，M 上所有亚纯函数集合是一个域，记作 C(M)。如果我们将每个复数等同于 M 上对应的常值函数，则这是 C 的一个扩张域。

给定某个域 K 上一个代数簇 V，则由定义在 V 上的有理函数组成的 V 的函数域，记作 K(V)，是 K 的一个扩张域。

基本性质

如果 L /K 是一个域扩张，则 L 和 K 有相同的 0 和 1。加法群 (K,+) 是 (L,+) 的一个子群，乘法群 (K−{0},·) 是 (L−{0},·) 的一个子群。特别地，如果 x 是 K 的一个元素，则在 K 中的加法逆 −x 与在 L 中的加法逆相同；同样对 K 中非零元素的乘法逆也成立。

特别地，L 与 K 的特征相同。

代数与超越元素

如果 L 是 K 的一个扩张，L 中一个元素若是 K 上一个非零多项式的根则称在 K 上的代数的。不是代数的元素称为超越的。例如：

• 在 C/R 中，i 是代数的因为它是 x²+1 的一个根；
• 在 R/Q 中，√2 + √3 是代数的，因为它是 x⁴−10x²+1 的一个根；
• 在 R/Q 中，e 是超越的因为没有任何有理系数多项式以 e 为根（参见超越数）；
• 在 C/R 中，e 是代数的因为它是 x−e 的根；

例子 C/Q 特别重要，代数数与超越数指在 Q 上分别是代数和超越的复数。

如果 L 的每个元素在 K 上都是代数的，则扩张 L/K 称为代数扩张；不然称为超越的。如果 L 中除了在 K 中的元素在 K 上都是超越的，则此扩张称为纯超越的。

可以证明一个扩张是代数的当且仅当是它的有限子扩张之并。特别地，每个有限扩张是代数。例如

• C/R 与 Q(√2)/Q，是有限的，从而是代数的。
• R/Q 是超越的，但不是纯超越的。
• K(X)/K 是纯超越的。

一个单扩张如果由一个代数元素生成则是有限的，如果由一个超越元素生成则是纯超越的。故

• R/Q 不是单的，它既不是有限的也不是纯超越的。

任意域 K 有一个代数闭包；本质上这是在 K 上代数的最大域扩张，包含所有 K 系数多项式方程的根。例如 C 是 ‘R’的代数闭包。

L 的一个子集 S 称为在 K 上代数无关如果在 S 的元素中不存在非平凡 K 系数多项式关系。代数无关集合的最大势称为 L /K 的超越度数。给定任意在 K 上代数无关的集合 S，则 K(S)/K 是纯超越的。总可以找到一个集合 S，在 K 上代数无关，使得 L /K(S) 是代数的。这样的集合 S 称为 L /K 的超越基。所有超越基有相同的势，等于这个扩张的超越度数。

正规、可分与伽罗瓦扩张

一个域扩张 L /K 称为正规的，如果 K[X] 中有一个根在 L 中的每个不可约多项式可以完全分解为 L 上线性因式的乘积。每个代数扩张 F /K 有一个正规闭包 L，它是域 F 的一个扩张使得 L /K 是正规的并是满足此性质的极小扩张。

一个代数扩张 L /K 称为可分的，如果 L 中每个元素在 K 上的极小多项式是可分的，即在 K 的一个代数闭包中没有重根。一个伽罗瓦扩张是既正规又可分的域扩张。

本原元定理的一个推论说每个有限可分扩张有一个本原元（即是单的）。

给定任意域扩张 L /K，我们可以考虑它的自同构群 Aut(L /K)，由所有使得 α(x) = x 对所有 x 属于 K 的自同构 α : L → L 组成。当扩张是伽罗瓦的时此自同构群称为这个扩张的伽罗瓦群。伽罗瓦群是阿贝尔的扩张称为阿贝尔扩张。

对一个给定的域扩张 L /K，我们经常对中间域 F（L 的包含 K 的子域）感兴趣。伽罗瓦扩张与伽罗瓦群的重要性在于它给出了中间域的完整描述：在中间域与伽罗瓦群的子群之间有一个双射，这就是伽罗瓦理论基本定理。

相关条目

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