基本元素

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集合论中,基本元素(ur-element, 或urelement)是指那些自身不為集合,但可以是某個集合的元素的數學對象。就是说如果 U 是基本元素,则

XU

這一說法是没有意义的,而

UX

是完全合理的。

这不应该與空集混淆,當我們說

X\emptyset

這是逻辑上合理的,只不过是假的。

基本元素有时也叫做“原子”或“个体”。

基本元素和公理化[编辑]

在叫做 Zermelo-Fraenkel 集合论的标准公理化集合论中,没有基本元素。但是確實有其他公理化集合論使用基本元素,比如:带有基本元素的 Kripke-Platek 集合论。在帶有类型的集合论系统中,基本元素有时是类型 0 的对象,所以叫做“原子”。在这种理论中,外延公理需要特殊的形式化和处理。

現已發現,向 NF 系统加進基本元素而生成的 NFU系統會產生某些令人驚訝的结论。特别是,NFU 已知是一致的,尽管與 NF 的相对一致性仍是未解的问题。此外,NFU 一致于选择公理而 NF 則不然。

引用[编辑]

  • Ronald Jensen (1969) "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," Synthese 19: 250-63.
  • Mendelson, Elliot (1997) Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall.
  • Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
  • MathWorldUrelement 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因