基本多边形

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数学上,每个闭曲面几何拓扑的意义下,可以由一个偶数条边的有向多边形,把它的边成对地粘合构造出来,这样的多边形称之为基本多边形fundamental polygon)。

由一对向量定义的基本平行四边形,生成环面。

这个构造可以表示成一个长为 2n 的字符串,一共 n 个不同的符号,每个符号出现两次带有指数 +1 或 -1。指数 -1 的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。

例子[编辑]

曲面的基本多边形
SphereAsSquare.svg
球面
ProjectivePlaneAsSquare.svg
实球射影平面
KleinBottleAsSquare.svg
克莱因瓶
TorusAsSquare.svg
环面

上图中标有相同字母的两条边,沿着箭头方向粘合。

群生成元[编辑]

对标准对称形状,多边形的边可以理解为一个生成元。然后这个多边形,写成群元素形式,成为由这些边生成的自由群上一个约束,给出有一个约束的群呈示

因此,例如给定欧几里得平面 \mathbb{R}^2,设群元素 A 在这个平面上有作用 A(x,y)=(x+1,y)B(x,y)=(x,y+1)。则 A,B 生成 \Gamma=\mathbb{Z}^2,而环面由商空间给出(一个齐性空间T= \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2。更一般地,两个生成元 A,B 可用来生成一个基本平行四边形的平行四边形镶嵌。

对环面,在两个字母的自由群上的约束由 A B A^{-1} B^{-1} = 1 给出。这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中。另外,平面可用六边形铺满,六边形的中心形成一个六边形格。将六边形的相对等同,又得到了环面。这一回约束是 A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1} = 1,刻划了六边形格生成元在平面上的作用。

在实际中,大部分有趣的情形是具有负曲率的曲面,由群 PSL(2,\mathbb{R}) 中一个离散格作用在上半平面实现。这样的格称为富克斯群Fuchsian group)。

标准基本多边形[编辑]

亏格 n 可定向闭曲面有如下标准基本多边形:

A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} = 1.\,

(不可定向)亏格 n 的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形:

A_1 A_1 A_2 A_2 \cdots A_n A_n.\,

或者,不可定向曲面能由两种形式给出,亏格 n 克莱因瓶与亏格 n 实射影平面。亏格 2n 克莱因瓶由一个 4n 边形给出

A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n = 1,\,

(注意最后的 B_n 没有上标 -1;与可定向情形比较,这个翻转是不可定向性的缘故)。亏格 2n+1 射影平面由一个 4n+2 边形给出

A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} C^2 = 1.\,

最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面,这是昂利·庞加莱证明的。

紧黎曼曲面的基本多边形[编辑]

一个(双曲)黎曼曲面的基本多边形有许多重要的性质,将曲面与它的富克斯模型Fuchsian model)联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以上半平面做为万有覆叠,从而可以表示为一个流形 H/Γ,这里 Γ 是一个非阿贝尔群同构于曲面的甲板变换群deck transformation group)。商空间的陪集有标准多边形做为代表元素。在下面,注意所有黎曼曲面都是可定向的。

度量基本多边形[编辑]

给定上半平面 H 中一点 z_0,以及 PSL(2,R) 一个离散子群 Γ 自由不连续作用在上半平面,则我们可定义度量基本多边形metric fundamental polygon)为点集

F=\{z \in \mathbb{H} : d(z,z_0) < d(z,gz_0) \;\; \forall g\in \Gamma \}.\,

这里 d 是上半平面的双曲度量。度量基本多边形有时也称为狄里克雷区域Dirichlet region)或沃罗诺伊多边形Voronoi polygon)。

  • 这个基本多边形是一个基本区fundamental domain)。
  • 这个基本多边形是凸集,连接这个多边形的任何两点的测地线完全包含在多边形内部。
  • F直径小于或等于 H/Γ 的直径。特别地,F闭包紧。
  • 如果 Γ 在 H 中没有不动点H/Γ 紧,则 F 的边数有限。
  • 多边形的每条边是一个测地线。
  • 对多边形的每条边 s,恰有另外一条边 s' 使得 gs=s' 对某个 g 属于 Γ。从而这个多边形有偶数条边。
  • 将边两两连接的群元素集合 g 是 Γ 的生成元,没有更小的集合可生成 Γ。
  • F 的闭包在 Γ 的作用下铺满上半平面。即 H=\cup_{g\in\Gamma}\, g\overline{F} 这里 \overline{F}F 的闭包。

标准基本多边形[编辑]

给定任何度量基本多边形 F,用有限步可以构造另一个基本多边形,标准基本多边形standard fundamental polygon),它具有额外一组值得注意的性质:

  • 标准多边形的顶点都是等价的。“顶点”是说两条边相交的点。“等价”意味着每个顶点可以由 Γ 中某个 g 变到任何其它一个顶点。
  • 边数可被 4 整除。
  • Γ 中一个给定元素 g 至多将多边形的一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来。由于 Γ 的作用保持定向,如果一条边为 A,则这一对中另一个可以标记为相反的方向 A^{-1}
  • 可以安排标准多边形的边,使得相邻边取形式 A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}。这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现。
  • 标准多边形是凸集。
  • 边可以安排成测地线。

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形 H/Γ 中是一个闭(非平凡)环路。就其本身而言,每条边可以为基本群 \pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma) 中一个元素。特别地,基本群 \pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma) 有 2n 个生成元素 A_1, B_1, A_2, B_2, \cdots A_n B_n,由一个约束定义,

A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}=1.\,

所得流形 H/Γ 的亏格是 n

例子[编辑]

度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如,环面的标准基本多边形是一个基本平行四边形fundamental parallelogram)。相比而言,度量基本多边形有六条边,是一个六边形。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是,取格中一点,然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分,被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后,上一个构造一般都可行:取一点 x,然后对 Γ 中 g,考虑 xgx 之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合,这些点的轨迹xgx 距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

面积[编辑]

标准基本多边形的面积是 4\pi(n-1),这里 n 是黎曼曲面的亏格(等价于 4n 是多边形的边数)。由于标准多边形是 H/Γ 的一个代表,黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由高斯-博内定理得出,在某种意义下黎曼-赫尔维茨公式Riemann-Hurwitz formula)是其推广。

标准多边形的具体形式[编辑]

对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群 \Gamma。对一个亏格 n 定向曲面,群可由 2n 格生成元 a_k 给出。这些生成元由下列分式线性变换作用在上半平面给出。

0\le k < 2n

a_k=
\left( \begin{matrix} 
\cos k\alpha & -\sin k\alpha \\ \sin k\alpha & \cos k\alpha 
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} e^p & 0 \\ 0 & e^{-p} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 
\cos k\alpha & \sin k\alpha \\ -\sin k\alpha & \cos k\alpha 
\end{matrix} \right)

参数由

\alpha= \frac{\pi}{4n}\left(2n-1\right)

\beta= \frac{\pi}{4n}

以及

p=\ln \frac{\cos \beta + \sqrt{\cos 2\beta}}{\sin \beta}

给出。可以验证这些生成元服从约束

a_0a_1\cdots a_{2n-1} a^{-1}_0a^{-1}_1\cdots a^{-1}_{2n-1}=1,\,

这给出整个群呈示

推广[编辑]

在高維,基本多变形的想法体现为齐性空间

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.