基本子结构

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模型论,给定在同一个语言 L 中的两个结构 MN,我们称 MN基本子结构(有时表示为 M<N \ ) 如果

1. MN子结构,且

2. 对于所有有限元组 a\in M,对于所有语言 L公式 \varphi(x),我们有 M\models \varphi(a) 当且仅当 N\models \varphi(a)

我们称 NM基本扩展当且仅当 MN 的基本子结构。

等价条件[编辑]

有时对第二个条件使用一个等价的陈述。我们可以通过对所有 m \in M 增加一个常量符号 c_m \ 来扩展 L 为一个新语言 L(M)。那么 MN 是解释每个 c_m \ mL(M) 的结构。

\mathrm{Th}_{L(M)}(M) \ \mathrm{Th}_{L(M)}(N) \ 分别是在 MN 中为真的 L(M)-句子的集合(称为它们的“基本图”)。那么上述条件 (2) 等价于陈述

\mathrm{Th}_{L(M)}(M) = \mathrm{Th}_{L(M)}(N) \ .

塔斯基-沃特测试是给定一对 M\subset N,确定 M 是否是 N 的基本子结构的非常有用的必要和充分条件。