塞尔谱序列

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数学中,塞尔谱序列Serre spectral sequence),有时为了纪念让·勒雷早先的工作称为勒雷-塞尔谱序列Leray-Serre spectral sequence),是代数拓扑学中的基本工具。它用同调代数的语言将一个(塞尔)纤维化的全空间 E奇异(上)同调表示为底空间 B 和纤维 F 的(上)同调。此结论属于让-皮埃尔·塞尔的博士论文。

表述[编辑]

f : E \rightarrow B 是拓扑空间的一个塞尔纤维化,F 是其纤维。结论用谱序列和标准记号表示。在没有简化假设时,记号必须正确地理解。

上同调谱序列[编辑]

塞尔上同调谱序列为:

E2pq = Hp(B, Hq(F)) \Rightarrow Hp+q(E).

这里,至少在标准简化条件下,E2-项中的系数群是 F 的第 q整上同调群,外面的群是 B 的系数取值于这个群的奇异上同调

严格地说,这表示关于 B 上由不同的纤维的上同调给出的局部系数系统的上同调。如果假设,B单连通,便退化为通常的上同调。对一个道路连通底空间,所有不同的纤维是同伦等价的。特别的,它们的同调是同构的,所以纤维的选取没有歧义。

收敛项表示整个空间的整上同调。

其中有乘法结构

E_r^{p,q} \times E_r^{s,t} \to E_r^{p+s,q+t},

E2-项上与 qs-倍上积重合,且关于乘法结构,dr(分次)导子,由 Er-页的乘法结构诱导了 Er-页的乘法结构。

同调谱序列[编辑]

类似于上同调谱序列,有同调谱序列:

E2pq = Hp(B, Hq(F)) \Rightarrow Hp+q(E),

这里的记号与上一节对偶。

这事实上是更一般的单纯集的纤维化的塞尔谱序列的一个特例。如果 f 是一个单纯集的纤维化(一个阚纤维化Kan fibration)),使得 \pi_1(B),单纯集 B 的第一同伦群,消失,则有正好和上面一样的谱序列。(利用将任何拓扑空间的单纯形相伴为一个拓扑空间的纤维化的函子,我们得到上面的序列)。

参考文献[编辑]

塞尔谱序列包含于代数拓扑学的一般教材中,例如:

单纯集情形可参见:

  • P. Goerss, R. Jardine, Simplicial homotopy theory, Birkhäuser