塞弗特-范坎彭定理

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代數拓撲中的塞弗特-范坎彭(Seifert–van Kampen)定理,將一個拓撲空間基本群,用覆蓋這空間的兩個路徑連通的子空間的基本群來表示。

定理敍述[编辑]

X為拓撲空間,有兩個開且路徑連通的子空間U_1, U_2覆蓋X,即X = U_1 \cup U_2,並且U_1 \cap U_2是非空且路徑連通。取U_1 \cap U_2中的一點x_0為各空間的基本群的基點。那麼從U_1 \cap U_2U_1U_2包含映射導出相應基本群的群同態:(以下省略基本群中的基點。)

\phi_1: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_1)
\phi_2: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_2)

塞弗特-范坎彭定理指出X的基本群,是U_1, U_2的基本群的共合積

\pi_1(X) = \pi_1(U_1) *_{\pi_1(U_1 \cap U_2)} \pi_1(U_2)

範疇論來說,\pi_1(X)是在範疇中圖表

\pi_1(U_1) \leftarrow {\pi_1(U_1 \cap U_2)} \rightarrow \pi_1(U_2)

推出

這定理可以推廣至X的任意多個開子空間的覆蓋: 設

  • X為路徑連通拓撲空間,x_0X的一點,
  • \{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}由路徑連通的開集組成,為X的開覆蓋,
  • 任何一個U_\lambda都有點x_0
  • 對任何\lambda, \mu\in \Lambda,都有\nu \in \Lambda,使得U_{\lambda}\cap U_{\mu} = U_\nu

U_\lambda \subset U_\mu,令

\phi_{\lambda\mu}: \pi_1(U_\lambda) \to \pi_1(U_\mu)

為由包含所導出的群同態。又令

\psi_{\lambda}: \pi_1(U_\lambda) \to \pi_1(X)

為由U_\lambda \subset X所導出的群同態。那麼\pi_1(X)有下述的泛性質

H為群,對所有\lambda\in \Lambda有群同態\rho_\lambda: \pi_1(U_\lambda)\to H,使得若U_\lambda \subset U_\mu,則

\rho_\mu \circ \phi_{\lambda\mu} = \rho_\lambda

那麼存在唯一的群同態\sigma: \pi_1(X) \to H,使得對所有\lambda\in \Lambda,都有

\rho_\lambda = \sigma \circ \psi_\lambda

這個泛性質決定唯一的\pi_1(X)。(不別群同構之異。)

參考[编辑]

  • Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. 1991.