复数 (数学)

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

函数f（x）=(x²-1)(x-2-i)²/(x²+2+2i)的绘图。色相表示函数的辐角，饱和度与明度表示函数的幅值。

複數為實數的推廣，它使任一多項式都有根。複數當中有個「虛數單位」$i$，它是$-1$的一个平方根，即$i ^2 = -1$。任一複數都可表達為$x + yi$，其中$x$及$y$皆為實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。

複數的發現源於三次方程的根的表達式。數學上，「複」字表明所討論的數域為複數，如複矩陣、複變函數等。

歷史

最早有關負數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家海倫，他考慮的是平頂金字塔不可能問題。16世紀意大利數學家（請參看塔塔利亞和卡爾達諾）得出一元三次和四次方程式的根的表達式，並發現即使只考慮實數根，仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒稱負數方根為虛數，「子虛烏有的數」，表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣莫弗及歐拉大力推動複數的接受。1730年，棣莫弗提出棣莫弗公式:

$(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta$，

而歐拉則在1748年提出分析學中的歐拉公式:

$\cos \theta + i \sin \theta = e ^{i \theta}$，

十八世紀末，複數漸漸被大多數人接受，當時卡斯帕尔·韦塞尔提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯再提出此觀點並大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上，以當今標準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球體，得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年，Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以$\pm\sqrt{-1}$來表示平面上與實數軸垂直的單位線段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章，而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿贝尔的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。

複數吸引了著名數學家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、喬治·皮庫克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念，例如質數，推廣至複數。

費迪南·艾森斯坦研究$a + bj$，其中$j$是$x^3 - 1 = 0$的複根。其他如$x^k - 1 = 0$ ($k$是質數)亦有考慮。類以推廣的先鋒為库默尔的完美數理論，經由菲利克斯·克莱因（1893年）以幾何角度加以簡化。伽羅華其後提出更一般的推廣，解決了五次以上多項式的根不能表達問題。

定義

符号表示

尽管可以使用其他表示法，复数通常写为如下形式

$a + bi$，

这裡的a和b是实数，而i是虛數單位，它有着性质i ² = −1。实数a叫做复数的“实部”，而实数b叫做复数的“虚部”。实数可以被认为是虚部为零的复数；就是说实数a等价于复数a+0i。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”。

例如，3 + 2i是复数，它的实部为3虚部为2。如果z = a + ib，则实部（a）被指示为Re(z)或$\Re(z)$，而虚部（b）被指示为Im(z)或$\Im(z)$。

在某些领域（特别是电子工程，这裡的i是电流的符号）中，虚部i被替代写为j，所以复数有时写为a + jb。

所有复数的集合通常指示为C，或者用黑板粗体写为$\mathbb{C}$。实数R可以被当作C的子集，通过把实数的所有成员当作复数: a = a + 0i。

等量关系

复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。

两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，a + bi = c + di当且仅当a = c并且b = d。

运算

通过形式上应用代数的结合律、交换律和分配律，再加上等式i ² = −1，定义复数的加法、减法、乘法和除法:

• 加法: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• 减法: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• 乘法: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$
• 除法: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} =\frac{ac+bci-adi-bd i^2}{c^2 -(di)^2}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i$，

複數域

複數可定義為實數$a, b$組成的有序對，而其相關之和及積為：

• $( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )$，

• $( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad )$，

複數數系是一個域，複數域常以$\mathbb{C}$來表示。

一個實數$a$等同於複數$(a, 0)$，故實數域為複數域的子域。虛數單位$i$就是複數$(0,1)$。此外，還有:

• 加法单位元（“零元”）: (0, 0)
• 乘法单位元（“幺元”）: (1, 0)
• (a,b)的加法逆元: (−a, −b)
• 非零 (a, b)的乘法逆元（倒数）: $\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right)$。

複數域亦可定為代數數的拓撲閉包或實數域的代數閉包。

複數平面

先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，z=a十bi可以用二维空间来表示出来

复数z可以被看作在被称为阿甘得图（得名於让-罗贝尔·阿冈，也叫做高斯平面）的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数z可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部 x = Re(z)和虚部y = Im(z)。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。

絕對值、共軛與距離

$z = re^{i\phi}$，则$|z|=r$是$z$的「絕對值」（「模」、「幅值」）。如果$z=a+bi$，則$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$.

對所有$z$及$w$，有

$| z | - | w | \leq | z + w | \leq | z | + | w |$

$| z w | = | z | \; | w |$

$\left| \frac{z}{w} \right| =\frac{| z |}{| w |}$

當定義了距離$d ( z , w ) = \left| z - w \right|$，複數域便成了度量空间，我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。

$z=a+ib$的共軛複數定義為$z=a-ib$，記作 $\overline{z}$ 或 $z^*$ 。如圖所示，$\overline{z}$是$z$关于實數轴的「对称点」。有

$\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$

$\overline{zw} = \overline{z}\cdot\overline{w}$

$\overline{\left( \frac{z}{w} \right)} =\frac{ \overline{z}}{\overline{w}}$

$\overline{\overline{z}}=z$

$\overline{z}=z$ 當且僅當$z$是實數

$|z|=|\overline{z}|$

$|z|^2 = z\overline{z}$

$z^{-1} = \overline{z}|z|^{-2}$ 若z非零。這是計算乘法逆最常用的等式。

對於所有代數運算$f$，共軛值是可交換（commute）的。這即是說$f(\overline z) = \overline{f(z)}$。一些非代數運算如正弦「sin」亦有此性質。這是由於$i$的不明確選擇——$x^2 = -1$有二解。可是，共軛值是不可微分的（參見全纯函数）。

一複數$z = re^{i\phi}$的「幅角」或「相位」為$\phi$。此值對模$2\pi$而言是唯一的。

复数运算的几何解释

X = A + B

X = AB

X = A*

考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。

两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点A, B, X的三角形是全等的。

两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。

点A的共轭复数是点X = A^*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。

极坐标形式

作为替代，复数z可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的r = |z| ≥ 0和叫做z的辐角的φ = arg(z)。对于r = 0，任何值的φ都描述同一个数。要得到唯一的表示，常规的选择是设置arg(0) = 0。对于r > 0辐角φ 模以2π后是唯一的；就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的2π的整数倍数，则它们被认为是等价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制φ在区间 (-π,π]内，就是−π < φ ≤ π。复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。

从极坐标形式到笛卡儿坐标形式的转换

$x = r \cos \varphi$

$y = r \sin \varphi$

从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换

$r = \sqrt{x^2+y^2}$

$\varphi = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\ \mathrm{undefined} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0. \end{cases}$

前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:

$\varphi = \begin{cases} +\arccos\frac{x}{r} & \mbox{if } y \geq 0 \mbox{ and } r \ne 0\\ -\arccos\frac{x}{r} & \mbox{if } y < 0\\ \mathrm{undefined} & \mbox{if } r = 0. \end{cases}$

极坐标形式的符号

极坐标形式的符号

$z = r\,(\cos \varphi + i\sin \varphi )$，

被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写cosφ + isinφ。 使用欧拉公式还可以写为

$z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,,$

这叫做“指数形式”。

极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根

在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。

使用三角恒等式得到

$r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2} = r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$，

和

$\frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}$。

依据棣莫弗定理做整数幂的指数运算，

$\big(r\,e^{i\varphi}\big)^n = r^n\,e^{in\varphi}$。

任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。

两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。

乘以i对应于一个逆时针旋转90 度(π/2 弧度)。方程i² = −1的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(π弧度)旋转。甚至算术中的 (−1) · (−1) = +1都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。

任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。n次方根给出为

$\sqrt[n]{r e^{i\varphi}}=\sqrt[n]{r}\ e^{i\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)}$

对于k = 0, 1, 2, …, n − 1，这裡的$\sqrt[n]{r}$表示r的主n次方根。

一些特性

矩陣表達式

這是個實用價值不大，但具數學意義的表達式，是將複數看作能旋轉及伸縮二維位置矢量的2×2實數矩陣，即是

$a+ib \leftrightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix} = r\exp\left(\varphi\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right),$

其中a及b為實數。可算出此類矩陣的和、積及乘法逆都是此類矩陣。還有

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

即實數1對應着單位矩陣

$\begin{pmatrix} 1 & \;\; 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

而虛數單位i對應着

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix};$

此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉，它的平方就是 -1。

複數的絶對值就是行列式的平方根。這些矩陣對應相應的平面變換，其旋轉角度等於複數的徧角，改變比例等於複數的絶對值。複數的軛就是矩陣的轉置。

若矩陣中的a和b本來就是複數，則構成的代數便是四元數。由此，矩陣代表法可看成代數的Cayley-Dickson構作法。

實向量空間

C是個二維實綫性空間。 不同於實數域，複數域上不可能有與其算術相容的全序: C並非[[有序域]]。

多項式的根

滿足p（z）= 0的複數z是多項式p的“根”。代數基本定理指出，所有n次多項式，不管實數系數抑或複數系數的，都剛好有n個複數根（k重根按k个计算）。這定理等價於複數域是代數閉域。

事實上，複數域是實數域的代數閉包。它是多項式環R[X]經由理想〈X² + 1〉顯生出的商環:

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[ X ] / ( X^2 + 1)$。

這是一個域因為X² + 1為不可約多項式，而X在商環內對應着虛數單位i。

代數特徵

複數域C唯一（就域同構來說）的域擁有三項代數特征:

• 它的特徵值是0
• 它對質數域的超越度是實數的基數
• 它是代數閉的

而然，C包含很多與C同構的子域。

不可排序

如果X和Y是任意两个复数，那么它们之间是无法按照“<”或“>”排列顺序的。因为对于复数给出排序定义且使他满足“序公理”是不可能的。

複分析

研究複變函數的理論稱為複分析。它在應用數學和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析和數論的結果，最自然的証明經常是以複分析的技巧完成（例子可見素數定理）。

複變函數的圖像是四維的，所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數的圖像，可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊，或者以動畫表示函數對複平面的動態變換。

應用

系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在複平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在複平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

• 位于右半平面，则因果系统不稳定；
• 都位于左半平面，则因果系统稳定；
• 位于虚轴上，则系统为临界稳定的。

如果稳定系统的全部零点都位于左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的複函數的实部表示：

$f ( t ) = z e^{i\omega t}$，

其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）

反常積分

在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常函數，藉由複值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法。

量子力學

量子力學中複數是十分重要的，因其理論是建基於複數域上無限維的希尔伯特空间。

相對論

如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量 (Metric)方程。

應用數學

實際應用中，求解給定差分方程模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有複特徵根r，再將系統以形爲f（t）= e^rt的基函數的線性組合表示。

流體力學

複函數於流體力學中可描述二維勢流（2D Potential Flow）。

分形

一些分形如曼德博集合和茹利亚集（Julia set）是建基於複平面上的點的。

參見

• 複平面
• 複幾何
• 棣莫弗公式
• 歐拉恆等式
• 超複數
• 局部域
• 相量
• 四元數
• Split-complex number

參考資料

• Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3. 

延伸閱讀

• An Imaginary Tale: The Story of $\sqrt{-1}$, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Numbers, by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.
• The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, by Roger Penrose; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8. Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
• Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
• Visual Complex Analysis, by Tristan Needham; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.

外部連結

您可以在維基教科書中查找此百科条目的相關電子教程：

複數

• 從實數到複數，繆龍驥
• Euler's work on Complex Roots of Polynomials at Convergence
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• 埃里克·韦斯坦因, Complex Number at MathWorld
• SOS Math - Complex Variables
• Algebraic Structure of Complex Numbers from cut-the-knot
• Complex Numbers Module by John H. Mathews
• IMO Compendium Training Materials contains a text on applications of complex numbers to euclidean geometry
• myElectrical.com Complex Number Ccalculator
• solvemymath.com Complex Numbers Calculator
• Interactive Visual Representation of Complex Numbers