外代数

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数学上,给定向量空间V外代数(英文:exterior algebra),也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra),是特定有单位的结合代数,它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ(V)而它的乘法,称为楔积外积,记为∧。楔积是结合的和双线性的;其基本属性是它在V交替

v\wedge v = 0,對於所有向量v\in  V

这表示

u\wedge v = - v\wedge u,對於所有向量u,v\in V,以及
v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0,當v_1,\ldots,v_k\in V 线性相关时。

注意这三个性质只对 V 中向量成立,对代数Λ(V)中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示,请参看下文。

形式为v1v2∧…∧vk的元素,其中v1,…,vkV中,称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为Vk-阶外幂记为Λk(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和

\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V

该外积有一个重要性质,就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释:2-向量uv代表以uv为边的带方向的平行四边形,而3-向量uvw代表带方向的平行六面体,其边为u, v, 和w

外幂的主要应用在于微分几何,其中他们用来定义微分形式。因而,微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律[编辑]

外代数有很多种等价的定义,下面的定义是最简捷的一个。

定义:V 是域 K 上的一个向量空间,令 IV张量代数

T(V) = \bigoplus_{n=0}^\infty T^k V
   = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots

理想(即双边理想),该理想是由所有形如 v \otimes v 的张量生成的(其中 v \in V 任意),则将 V 上的外代数 \Lambda (V) 定义为商代数 T(V)/I,即


  \Lambda(V) := T(V)/I,

并且把 v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V等价类[1] [v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I 记为 v_1 \wedge \ldots \wedge v_k,其中 v_1, \ldots, v_k \in V. 设 k = 0, 1, 2, \ldots \, ,

\Lambda^k(V) := (T^k V)/I

Vk-阶外幂kth exterior power of V),称 \Lambda^k (V) 中的元素为 k-向量k-multivector)。

注:

  1. \forall \lambda \in K,当且仅当 \lambda = 0 时才有 \lambda \in I,因此,可以把 \Lambda^0 (V) = K/I 等同于 K,并且把 [\lambda] \in \Lambda^0 (V) 记为 \lambda;基于类似的原因,可以把 \Lambda^1 (V) = V/I 等同于 V,而且把 [v] \in \Lambda^0 (V) 记为 v。这一点是前面所讲的能够把 [v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V) 记为 v_1 \wedge \ldots \wedge v_k 的特例和前提。
  2. k > 1 时,k-向量并不仅限于形如 v_1 \wedge \ldots \wedge v_k 的元素,例如,v_1 \wedge v_2 +  w_1 \wedge w_2 也是 2-向量,其中 v_1, v_2, w_1, w_2 \in V.
  3. 理想 I 中的元素并不仅限于形如 v \otimes v 的张量,例如,
    1. \forall v \in V, \forall t \in T(V), 必定有 v \otimes v \otimes t \in It \otimes v \otimes v \in I.
    2. \forall v, w \in V, 由于 (v + w) \otimes (v + w) \in Iv \otimes v \in I 以及 w \otimes w \in I, 显然有 v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I. 这就有一个推论:所有的二阶对称张量都在理想 I 中。
    3. 由于上面的两个结论,\forall v, w \in V,我们有 v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I, 这是因为等式右边的每一项都在 I 中。对张量 t \in T(V) 的阶数作数学归纳法,则可以证明:\forall v \in V, \forall t \in T(V),总有 v \otimes t \otimes v \in I.
  4. k = 2, 3, \ldots,则 \forall \alpha \in \Lambda^k (V)\alpha 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 t \in T^k (V),可以把这个 k-阶的完全反对称张量等同于 \alpha, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中,k-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用 \wedge 写出,则分别给出

(1) \forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V), \lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.

证明如下: 作为等价类,我们从 \alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I 中任意挑选一个代表元 t,则 t \in T(V) 而且 \alpha = [t]. 根据商代数的定义,

\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.

类似地,可以证明 \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .

(2) 根据注 3.1 中的内容,显然有 v \wedge v = 0, \, \forall v \in V.

(3) 根据注 3.2 中的内容,对任意 v, w \in V 成立着

v \wedge w = - w \wedge v.

注:即使 K特征为 2,这个公式也是对的,只不过此时有 -1 = 1 而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质,运算 \wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V) 满足结合律分配律

(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),
(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,
\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,

其中 \alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V) 都是任意的。

以前两条性质为例,其证明如下:设张量 a, b, t \in T(V) 分别是 \alpha, \beta, \theta 中的代表元,即 \alpha = [a], \beta = [b], \theta = [t], 则

(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),
(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t]
  = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t]
  = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.

(5) 根据上面的 (3) 和 (4),用数学归纳法可以证明:\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,

\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.

证明从略。

基底和维数[编辑]

V维数n而{e1,...,en}是V,则集合

\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}

k阶外幂Λk(V)的一个基。理由如下:给定任何如下形式的楔积

v_1\wedge\cdots\wedge v_k

则每个向量vj可以记为基向量ei的一个线性组合;利用楔积的双线性性质,这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0;任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序,在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲,最后基k-向量前的系数可以用通过积ei来描述vj矩阵子式来计算。

数一下基元素,我们可以看到Λk(V) 的维数是nk。特别的有, Λk(V) = {0} 对于 k > n.

外代数是一个分级代数,是如下直和

\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)

其维数等于二项式系数之和,也就是2n.

例子: 欧氏三维空间的外代数[编辑]

考虑空间R3,其基为{i, j, k}。一对向量

 \mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}
 \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}

的楔积为

 \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k})

其中{ij, ik, jk}是三维空间Λ2(R3)的基底。

再加一个向量

 \mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k} ,

这三个向量的楔积是

 \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})

其中ijk是一维空间Λ3(R3)的基底。

空间Λ1(R3) 是R3, 而空间Λ0(R3) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R3),这是八维向量空间

 \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) .

那么,给定一对8维向量ab, 其中a如上给出,而

 \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8) ,

ab的楔积如下(用列向量表达),

 \mathbf{a} \wedge  \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\ 
a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\   a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\   a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\
a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 +  a_5 b_4 \end{pmatrix} .

容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R3)代数的楔积是结合的(也是双线性的):

 (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质,赝向量与赝标量[编辑]

对三维欧几里得空间 E^3 可以建立一个线性同构 \phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3 如下:任取 E^3右手的标准正交基 \boldsymbol{i}\boldsymbol{j}\boldsymbol{k},规定 \phi\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i} 分别映射为 \boldsymbol{k}\boldsymbol{i}\boldsymbol{j},则 \phi 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出,对任意向量 \boldsymbol{u}\boldsymbol{v},这个线性同构把 \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} 映射为 \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}。这就是叉乘(向量积)的实质。例如,E^3平行四边形 ABCD 的面积向量可以表示为 \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD},推广之后,高维黎曼流形 (M, \mathbf{g}) 中的的二维曲面 \Sigma 的面积用


  \int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad 
  h = \left|\begin{array}{cc}
      h_{11} & h_{12} \\
      h_{21} & h_{22}
    \end{array}\right| \, ,

来计算(其中 h_{ab} 是度规张量场 \mathbf{g}\Sigma 上的诱导度规 
  \mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b
的坐标分量),由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。

物理学中经常要区分的向量极向量)与赝向量轴向量)这两个概念,现在就容易理解了:从根本上说,向量是 E^3 中的元素,所以在空间反演变换下会改变方向;而赝向量其实是 \Lambda^2 (E^3) 中的元素,在空间反演变换下不会改变方向。

类似地,借助于右手的标准正交基,可以把 \Lambda^3 (E^3) 中的元素 a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k} 映射为“标量" a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)。但是,在空间反演变换下它就会原形毕露,所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的,而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量 \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} 映射为向量 \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} 以及把 3-向量 a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k} 映射为一个实数 a 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶线性映射

泛性质及构造[编辑]

V为一个K(在多数应用中,也就是实数域)上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含 V 的并有一个交替乘法在V上由单位的结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达:

任给一个有单位的结合 K-代数 A 和一个 K-线性映射 j : VA 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个 v 属于 V 成立,则存在恰好一个由单位的代数同态f : Λ(V) → A 使得 f(v) = j(v) 所有 v 属于 V 成立。

外代数的泛性质

要构造最一般的包含 V 的代数,而且其乘法是在 V 上交替的,很自然可以从包含 V 的最一般的代数开始,也就是张量代数 T(V),然后通过合适的来强制交替的性质。这样我们取 T(V) 中由所有形为 vv的元素生成的双边理想 I,其中 v 属于 V,并定义 Λ(V)为

Λ(V) = T(V)/I

(并且使用 ∧ 为 Λ(V)中的乘法的代号)。然后可以直接证明 Λ(V) 包含 V 并且满足上述泛性质。

如果不是先定义 Λ(V) 然后把外幂 Λk(V) 等同为特定的子空间,我们也可以先定义空间 Λk(V) 然后把它们合并成为一个代数 Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到,并在下节中有描述。

反对称算子和外幂[编辑]

给定两个向量空间VX,一个从VkX反对称算子是一个多线性映射

f: VkX

使得只要v1,...,vkV线性相关的向量,则

f(v1,...,vk) = 0.

最著名的例子是行列式值,从(Kn)nK的反对称线形算子。

映射

w: Vk → Λk(V)

它关联V中的k个向量到他们的楔积,也就是它们相应的k-向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在Vk上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子f : VkX,存在一个唯一的线性映射φ: Λk(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λk(V)并且可以作为它的定义。

所有从Vk到基域K的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的,维数n,则该空间可以认同为Λk(V),其中V表示V的对偶空间。特别的有,从VkK的反对称映射的空间是nk维的。

在这个等同关系下,若基域是R或者C,楔积有一个具体的形式:它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : VkK和η : VmK为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样,楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下:

\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)

其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均:

{\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})

注意: 有一些书中楔积定义为

\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)

指标记法[编辑]

在主要由物理学家使用的指标记法

(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}

微分形式[编辑]

M 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω 是 ΛkTMM余切丛k 阶外幂)的一个截面。等价的有:ω 是 M 的光滑函数,对于 M 的每个点 x 给定一个 Λk(TxM)的元素。大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调亚历山大-斯潘尼尔上同调

推广[编辑]

给定一个交换环R和一个R-M,我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M),它是张量代数T(M)适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用[编辑]

格拉斯曼代数在物理中有重要应用,它们被用于建模和费米子超对称性相关的各种概念。

参看超空间超代数超群

注释[编辑]

  1. ^ 由下述等价关系 \sim 所形成的等价类:
    \forall u, v \in T(V)\, , u \sim v \Leftrightarrow u - v \in I \, .

相关课题[编辑]