外共变导数

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数学中,外共变导数exterior covariant derivative),时或称为共变外导数covarian texterior derivative),是流形上的微积分calculus on manifolds)中一个非常有用的概念,它可能将利用主联络的公式化简。

PM光滑流形 M 上一个G-丛。如果 \phi P 上一个张量性 k-形式,则其外共变导数定义为:

D\phi(X_0,X_1,\dots,X_k)=\mathrm{d}\phi(h(X_0),h(X_1),\dots,h(X_k))

这里 h 表示到水平子空间的投影,H_x 由联络定义,其为该纤维丛全空间切丛的 V_x铅直子空间)。这里 X_iP 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0,我们有

D^2\phi=\Omega\wedge\phi

这里 \Omega 表示曲率形式。特别的 D^2平坦联络消没。

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参考文献[编辑]