外延公理

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公理化集合论与使用它的逻辑数学计算机科学分支中,外延性公理外延公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

形式陈述[编辑]

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,它读做:

\forall A, \forall B: A=B \iff (\forall x: x \in A \iff x \in B)

换句话说:

给定任何集合 A 和任何集合 BA 等于 B当且仅当给定任何集合 x, xA 的一个成员当且仅当 xB 的一个成员。

(这里的 x 是集合不是本质性的,但在 ZF 中所有东西都是集合。参见下面的带有基本元素的集合论章节)。

解释[编辑]

要理解这个公理,注意上述符号陈述中圆括号内的子句简单的声称了 AB 有完全相同的成员。所以,这个公理实际上说的是两个集合相等,当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是:

集合唯一的由它的成员来决定。

外延性公理可以同 \exist A, \forall x: x \in A \iff P(x) 形式的概括陈述一起使用,这里的 P 是不提及 Ax 的任何一元谓词,来定义一个唯一集合 A,它的成员完全是满足谓词 P 的集合。我们可以接着为 A 介入新的符号;普通数学中的定义最终以这种方式工作的,当它们的陈述简化到纯集合论术语的时候。

外延性公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在所有可替代的集合論的公理化中。但是对于某些使用需要修改。

在没有等号的谓词逻辑中[编辑]

上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定:有的不把上述陈述作为公理,而是作为对等号的定义。那么,就必須連同来自谓词逻辑中有關等式的公理,作為关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出;余下的一个是

\forall A,\forall B: (\forall x : x\in A\iff x\in B)\Rightarrow(\forall C : A\in C\iff B\in C)

而這就成为了所謂的外延性公理。

在有基本元素的集合论中[编辑]

基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素,但在某些可替代的集合論的公理化中會有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型;在这种情况下,如果 A 是基本元素,则 x \in A 没有意义,所以外延性公理只适用于集合。

作为选择之一,在无类型逻辑中我们可以要求 x \in AA 是基本元素的时候为假。在这种情况下,平常的外延性公理将蕴涵所有基本元素等于空集。为了避免这样,我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合,并把它读为:

\forall A, \forall B, \exist x: x \in A \implies (A = B \iff (\forall y: y \in A \iff y \in B)).

就是说:

给定任何集合 A 和任何集合 B,如果 A 是非空集合(就是说存在着 A 的一个成员 x),那么 AB 是相等的,当且仅当它们有完全相同的成员。

另一个选择,在无类型逻辑中可定义 AA 是基本元素的时候自身是 A 的唯一的元素。尽管这个方式可以胜任保存外延性公理,但基础公理反而需要调整。

引用[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.