外森比克不等式

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外森比克不等式Weitzenböck's inequality)是有关三角形边长和面积的一个不等式。設三角形的邊長為a,b,c面積A,則外森比克不等式声称a^2+b^2+c^2 \ge 4 \sqrt{3} A成立。若且唯若三角形為等邊三角形,等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。

在1961年国际奥林匹克数学竞赛中,此题曾被要求学生证明。

证明一[编辑]

除了“所有平方数非负”以外,这个证明不用到其它任何不等式。


\begin{align}
{} & (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 \geq 0 \\
{} \iff & 2(a^4+b^4+c^4) - 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geq 0 \\
{} \iff & \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3} \geq \frac{4(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \\
{} \iff & \frac{(a^4+b^4+c^4) + 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \geq 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) \\
{} \iff & \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} \geq (4\Delta)^2,
\end{align}

两边取平方根,即得证。

证明二[编辑]

这个证明用到了排序不等式算术-几何平均值不等式


\begin{align}
& & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & ab+bc+ca \\
\iff & & 3(a^2 + b^2 + c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\
\iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\
\iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
\iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta.
\end{align}

证明三[编辑]

拿破仑三角形的面积的平方的6倍等于不等式左边减去右边,显然面积平方不小于 0,从而不等式成立。