外测度

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数学中,特别是测度论中,外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值函数,并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进,目的是给可测集可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上(例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理)。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量,现在称为豪斯多夫维数

从长度,面积及体积归纳出來的测度概念,对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数\varphi,使其滿足以下4个条件:

  1. 任意实数区间 [a,b]有测度b-a
  2. 測度函數 \varphi是非負扩展实数值函數,定义在\mathbb{R}的所有子集合上;
  3. 平移不变性:任给集合A和实数xAA+x 有相同的测度(这里,A+x=\{a+x: a\in A\});
  4. 可数可加律:对X的任意的两两无交的子集序列\{A_j\},有:
 \varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i)

事实上,这几条要求是不相容的。这样的測度函數 \varphi不能定义在\mathbb{R}的所有子集上,也就是说,不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合,使得可数可加性得到满足。

定義[编辑]

外測度是从X冪集合[0, \infty] 的映射

\varphi: 2^X \rightarrow [0, \infty]

滿足以下條件:

 \varphi(\varnothing) = 0
 A \subseteq B \Rightarrow \varphi(A) \leq \varphi(B)
  • 次可加性: 对X的任意子集序列\{A_j\}(无论交集是否为空)
 \varphi\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \varphi(A_j)

这样我们可以定义可测性:称X 的子集E\varphi -可测的,当且仅当对X的任意子集A

 \varphi(A) = \varphi(A \cap E) + \varphi(A \cap  E^c).

全体 \varphi -可测的子集构成了一个\sigma-代数\varphi限制在全体可测集上是可数可加的完备测度。这个方法是Carathéodory构造出来的,是构造勒贝格测度积分理论的重要方法。

外測度与拓樸學[编辑]

假設 (X,d)是一個度量空間\varphi 是一個在 X之上的外測度。若 \varphi 有以下性質 :

只要

 d(E,F) = \inf\{d(x,y): x \in E, y \in F\} > 0,

就有

 \varphi(E \cup F) = \varphi(E) + \varphi(F)

那么称\varphi 是一个度量外测度

如果\varphi X上的度量外测度,那么X的每个Borel子集都是\varphi -可测的。

外測度的构造[编辑]

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

X为一集合,CX的包含空集子集族pC上的非负扩展实数值函数,且p 在空集处取零。

那么定义

 \varphi(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}

 \varphi 是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效,因为它直接得到了度量外测度。设 (X,d)是一个度量空间,CX的包含空集的子集族,pC上的非负扩展实数值函数,且p在空集处取零。那么,对任意 \delta >0 ,令

C_\delta= \{A \in C: \operatorname{diam}(A) \leq \delta\}

 \varphi_\delta(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}.

\delta \leq \delta' \varphi_\delta \geq \varphi_{\delta'} 成立,因为\delta 减小时,下确界是在更小的集合上取得的。所以

 \lim_{\delta \rightarrow 0} \varphi_\delta(E) = \varphi_0(E) \in [0, \infty]

存在(可能是无穷大)。

这样构造的\varphi_0是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

參考[编辑]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953