外测度

在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫（Felix Hausdorff）也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。

从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数$\varphi$,使其滿足以下4个条件：

1. 任意实数区间 $[a,b]$有测度$b-a$；
2. 測度函數 $\varphi$是非負扩展实数值函數，定义在$\mathbb{R}$的所有子集合上；
3. 平移不变性：任给集合$A$和实数$x$，$A$与$A+x$ 有相同的测度(这里，$A+x=\{a+x: a\in A\}$）；
4. 可数可加律：对$X$的任意的两两无交的子集序列$\{A_j\}$，有：

$\varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i)$。

事实上，这几条要求是不相容的。这样的測度函數 $\varphi$不能定义在$\mathbb{R}$的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。

定義

外測度是从$X$的冪集合到$[0, \infty]$的映射

$\varphi: 2^X \rightarrow [0, \infty]$

滿足以下條件：

• 空集有零外測度：

$\varphi(\varnothing) = 0$

• 单调性：

$A \subseteq B \Rightarrow \varphi(A) \leq \varphi(B)$

• 次可加性: 对X的任意子集序列$\{A_j\}$（无论交集是否为空）

$\varphi\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \varphi(A_j)$

这样我们可以定义可测性：称$X$ 的子集$E$是 $\varphi$-可测的，当且仅当对$X$的任意子集$A$，

$\varphi(A) = \varphi(A \cap E) + \varphi(A \cap E^c).$

全体 $\varphi$-可测的子集构成了一个$\sigma$-代数 ，$\varphi$限制在全体可测集上是可数可加的完备测度。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

外測度与拓樸學

假設 $(X,d)$是一個度量空間且 $\varphi$是一個在 $X$之上的外測度。若 $\varphi$有以下性質 ：

只要

$d(E,F) = \inf\{d(x,y): x \in E, y \in F\} > 0,$

就有

$\varphi(E \cup F) = \varphi(E) + \varphi(F)$

那么称$\varphi$是一个度量外测度。

如果$\varphi$是$X$上的度量外测度，那么$X$的每个Borel子集都是$\varphi$-可测的。

外測度的构造

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令$X$为一集合，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非负扩展实数值函数，且$p$ 在空集处取零。

那么定义

$\varphi(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}$

则$\varphi$是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 $(X,d)$是一个度量空间，$C$是$X$的包含空集的子集族，$p$是$C$上的非负扩展实数值函数，且$p$在空集处取零。那么，对任意$\delta >0$，令

$C_\delta= \{A \in C: \operatorname{diam}(A) \leq \delta\}$

及

$\varphi_\delta(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}.$

对$\delta \leq \delta'$有$\varphi_\delta \geq \varphi_{\delta'}$ 成立，因为$\delta$减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

$\lim_{\delta \rightarrow 0} \varphi_\delta(E) = \varphi_0(E) \in [0, \infty]$

存在（可能是无穷大）。

这样构造的$\varphi_0$是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

參考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953