外爾特徵標公式

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外爾特徵標公式Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫尔曼·外尔

定義:羣G的表示r特徵標為一函數 \chi: G\rightarrow C\chi (g) := Tr(r(g)),其中Tr 為線性算子之。 (由彼得-外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的;故迹之定義為線性代數中之定義。)

特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外爾特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示,不失一般亦設其為酉表示,因而「不可約」亦等價於「不可分解」(即非二子表示之直和)。

公式[编辑]

緊李羣G不可約表示之特徵標符合下式:

{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}

其中

外爾分母公式[编辑]

在 1 維表示的特例中,特徵標為 1, 而外爾特徵標公式簡化成 外爾分母公式

{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}.

G為特殊么正羣,則簡化成范德蒙行列式的等式:

 
\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1} =\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)

外爾維度公式[编辑]

若只考慮單位元1之迹,則外爾特徵標公式 特殊化成 外爾維數公式

\dim(V_\Lambda)= {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)},
\dim(V_\Lambda) = {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)}

其中

  • VΛ為有限維表示,其最高權為Λ;
  • ρ為外爾向量,
  • α 遍歴所有正根。

由於式中分子與分母俱為高階零,故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。

Freudenthal 公式[编辑]

Hans Freudenthal發現了權重數[1]符合之一遞歸公式。此公式等價於外爾特徵標公式,而在某些情況下更簡便。式曰:

 ((\Lambda+\rho)^2 - (\lambda+\rho)^2)\dim V_\lambda = 2 \sum_{\alpha>0}\sum_{j\ge 1} (\lambda+j\alpha, \alpha)\dim V_{\lambda+j\alpha}

其中

  • Λ 為一最高權,
  • λ 為另一權,
  • dim Vλ 為權λ 之重數,
  • ρ 為外爾向量,
  • 外和中之 α 歴遍所有正根。

外爾-Kac 特徵標公式[编辑]

外爾特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代数可積最高權表示 ——外爾-Kac 特特徵標公式。同樣地,分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代数,其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A1 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式:

\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - x^{2m}\right)
\left( 1 - x^{2m-1} y\right)
\left( 1 - x^{2m-1} y^{-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n^2} y^{n}.

此特徵公式可推廣至广义卡茨-穆迪代数之可積最高權表示:

{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}S) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}

其中 S 為一修正項:

S=\sum_{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}

其中 I歴遍虚簡單根集內 所有與最高權\lambda 正交、且互相正交之有限子集;|I| 集 I 之基數,而 ΣI為集 I 內元素之和。

Monster 李代數之 分母公式 則為椭圓模函數[2]j之積公式:

j(p)-j(q) = \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c_{nm}}

Peterson 發現了(廣義)可對稱化[3]卡茨-穆迪代数之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外尔-卡茨分母公式,但更便於計算:

(\beta,\beta-2\rho)c_\beta = \sum_{\gamma+\delta=\beta} (\gamma,\delta)c_\gamma c_\delta,

其中γ 與 δ 遍歴所有正根,而

 c_\beta = \sum_{n\ge 1} {{\rm mult}(\beta/n)\over n}

參攷[编辑]

[编辑]

  1. ^ (en:weight multiplicities)
  2. ^ (en:elliptic modular function)
  3. ^ en:symmetrisable