外积

外积典型的称呼张量积或有类似势的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。

这个名字相对于内积，它是有相反次序的积。

矩阵乘法定义

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定 $m\times 1$ 列向量 $\mathbf{u}$ 和 $1 \times n$ 行向量 $\mathbf{v}$，它们的外积 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 被定义为 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$，结果出自

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}$

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标:

$\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}$

对于复数向量，习惯使用 $\mathbf{v}$ 的复共轭(指示为 $\bar{\mathbf{v}}$)，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素:

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \bar{\mathbf{v}}$

如果 $\mathbf{v}$ 是列向量，定义变为:

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^*$

这里的 $\mathbf{v}^*$ 是 $\mathbf{v}$ 的共轭转置。

相对于内积

如果 $\mathbf{v}$ 是行向量，而且 m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或 $1 \times 1$ 矩阵):

$\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\right\rangle = \mathbf{v} \mathbf{u}$

它是欧几里得空间的标准内积，常叫做点积。

抽象定义

给定向量 $v \in V$ 和余向量 $w^* \in W^*$，张量积 $v \otimes w^*$ 给出映射 $A\colon W \to V$，在同构 $\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V$ 之下。

具体的说，给定 $w \in W$，

$A(w) := w^*(w)v$

这里的 $w^*(w)$ 是 $w^*$ 在 w 上的求值，它生成一个标量，接着乘 v。

可作为替代，它是 $w^*\colon W \to K$ 与 $v\colon K \to V$ 的复合。

如果 $W=V$，则还可以配对 $w^*(v)$，这是内积。

参见

• 内积
• 叉积
• 张量积