外积

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外积直譯叉積(cross product),符號\times,在线性代数中一般指两个向量的张量积;或在几何代数中,指有类似的运算如楔积。这些运算的势是笛卡尔积的势。

这个名字与内积相对,它是有次序的积,即\vec{a}\times \vec{b}不等於\vec{b}\times \vec{a}

矩阵乘法定义[编辑]

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定 m\times 1 列向量 \mathbf{u}1 \times n 行向量 \mathbf{v},它们的外积 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} 被定义为 m\times n 矩阵 \mathbf{A},结果出自

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标:

\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix}  \otimes   \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}

对于复数向量,习惯使用 \mathbf{v}复共轭(指示为 \bar{\mathbf{v}}),因为人们把行向量认为是对偶空间复共轭向量空间的元素:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \bar{\mathbf{v}}

如果 \mathbf{v} 是列向量,定义变为:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^*

这里的 \mathbf{v}^*\mathbf{v}共轭转置

相对于内积[编辑]

如果 \mathbf{v} 是行向量,而且 m = n,则可以采用其他方式的积,生成一个标量(或 1 \times 1 矩阵):

\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\right\rangle  = \mathbf{v} \mathbf{u}

它是欧几里得空间的标准内积,常叫做点积

抽象定义[编辑]

给定向量 v \in V余向量 w^* \in W^*,张量积 v \otimes w^* 给出映射 A\colon W \to V,在同构 \mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V 之下。

具体的说,给定 w \in W

A(w) := w^*(w)v

这里的 w^*(w)w^*w 上的求值,它生成一个标量,接着乘 v

可作为替代,它是 w^*\colon W \to Kv\colon K \to V 的复合。

如果 W=V,则还可以配对 w^*(v),这是内积


参见[编辑]