外自同構群

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抽象代數群論中,G外自同構群Out(G)是自同構群Aut(G)對內自同構子群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一個自同構如不是內自同構,便稱為外自同構。外自同構群Out(G)的元素是G的內自同構子群Inn(G)在自同構群Aut(G)中的陪集,故其元素不是外自同構,同一元素可對應到某個外自同構和任何內自同構的複合,因此不能定義G的外自同構群於G上的作用。不過因為內自同構都將群G的元素映射到同共軛類的元素,所以可定義出外自同構群在G共軛類上的作用。

然而,若G阿貝爾群,則G內自同構群是平凡群,於是Out(G)可以自然地等同於Aut(G),即是Out(G)的每個元素都對應唯一的自同構,因此Out(G)可以作用於G上。(而這時G的共軛類也各僅有一個元素。)

一些有限群的外自同構群[编辑]

G Out(G) |\mbox{Out}(G)|
\mathbb Z \mathbb Z / 2\mathbb Z 2
\mathbb Z / n\mathbb Zn > 2) \mathbb (Z / n\mathbb Z)^\times \varphi(n)=n \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)\varphi(n)歐拉函數
\mathbb (Z / p\mathbb Z)^np素數n > 1) \mathrm {GL}_n(p) \prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i)
對稱群S_nn ≠ 6) 平凡群 1
S_6 \mathbb Z / 2\mathbb Z 2
交錯群A_nn ≠ 6) \mathbb Z / 2\mathbb Z 2
A_6 (\mathbb Z / 2\mathbb Z) \times (\mathbb Z / 2\mathbb Z) 4

與中心對偶[编辑]

G的外自同構群,在下述意義下可以視為對偶於G中心Z(G):G的元素g所對應的共軛作用x\mapsto gxg^{-1}是自同構,由此得映射\sigma\colon G \to \mathrm{Aut}(G)。這映射是群同態G的中心,而餘核G的外自同構群(因這映射的G的內自同構群)。這關係可用正合列表示:

Z(G) \hookrightarrow G \overset{\sigma}{\to} \operatorname{Aut}(G) \twoheadrightarrow \operatorname{Out}(G).

如果一個群只有平凡外自構群和平凡中心,即\sigma群同構時,稱之為完備群

有限單群的外自同構群[编辑]

施賴埃爾猜想指任何有限單群的外自同構群,都是可解的。按照有限單群分類去逐一檢驗,這項猜想已得證,但至今未有直接證明。

參考[编辑]