外觀數列

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外觀數列(Look-and-say sequence)第n項描述了第n-1項的數字分布。它以1開始:

  1. 1:讀作1個「1」,即11
  2. 11:讀作2個「1」,即21
  3. 21:讀作1個「2」,1個「1」,即1211
  4. 1211:讀作1個「1」,1個「2」,2個「1」,即111221
  5. 111221:讀作3個「1」,2個「2」,1個「1」,即312211
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ... OEIS:A005150

性質[编辑]

  • 除了1,2,3之外,沒有其他數字。

L_i 是第i項的長度,則

\frac{L_{i+1}}{L_{i}} \rightarrow \lambda
其中\lambda = 1.303577269\ldots稱為康威常數,它是下面71次方程唯一一個正實數解:
 x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+ \,
 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}- \,
 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}- \,
 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}- \,
 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}- \,
 2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0\,

來由[编辑]

這個數列最初出現在約翰·何頓·康威1986年論文 The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay (收錄在Open Problems in Communication and Computation ISBN 0-387-96621-8)。它的靈感來自壓縮方法RLE(Run-length encoding)。