多伽玛函数

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\boldsymbol{m}阶多伽玛函数伽玛函数的第(\boldsymbol{m+1})对数导数

\psi^{(m)}(\zeta)=(\frac{d}{d\zeta})^m\psi(\zeta)=(\frac{d}{d\zeta})^{m+1}\ln\Gamma(\zeta)

在这里

\psi(\zeta)=\psi^{(0)}(\zeta) = \frac{\Gamma'(\zeta)}{\Gamma(\zeta)}

双伽玛函数\Gamma(\zeta)\!是伽玛函数。函数\psi^{(1)}(\zeta)\!有时称为三伽玛函数

伽玛函数的对数,以及最初几个多伽玛函数
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

\ln\Gamma(\zeta)\!

\psi^{(0)}(\zeta)\!

\psi^{(1)}(\zeta)\!

\psi^{(2)}(\zeta)\!

\psi^{(3)}(\zeta)\!

\psi^{(4)}(\zeta)\!

积分表示法[编辑]

多伽玛函数可以表示为:

\psi^{(m)}(\zeta)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}} dt

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0,参见双伽玛函数的定义。

递推关系[编辑]

多伽玛函数具有以下的递推关系

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}.

乘法定理[编辑]

乘法定理给出:

k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

其中m>1。对于m=0,则是双伽玛函数

k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right)

级数表示法[编辑]

多伽玛函数有以下的级数表示法:

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示:

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).

泰勒级数[编辑]

z = 1时,泰勒级数为:

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},

当|z| < 1时收敛。在这里,ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数

参见[编辑]

参考文献[编辑]