N体问题

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N体问题是指找出已知初始位置、速度和质量的多个物体在经典力学情况下的后续运动。

N体问题的数学公式[编辑]

天体力学中的普遍情况下的N体问题是一组已知初始值的常微分方程组:即已知初始值 q_j(0), \quad\dot q_j(0), j=1,\ldots,n (当j 不等于k 时, q_j(0) \neq q_k(0) ),解出这个二阶常微分方程组

 m_j	\ddot q_j	= \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{n}  \frac{m_j m_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad (1)

其中  m_1,m_2,\ldots m_n 是代表n质点质量的常量。 q_1,q_2,\ldots,q_n 是以时间t为变量描述质点位置的三维矢量函数。

约翰·伯努利已经完全解决了 n=2 的情况。(参见#二体问题

一般考虑:解决N体问题[编辑]

在有关N体问题(n\geq 3 )的物理文学作品里有时会发现像“解决N体问题是不可能的”这样的描述。

n 体问题包含6n 个变量,因为每个质点需要3个空间坐标和3个分速度表示。

二体问题[编辑]

假如两个物体的共同质心是静止的,每一个物体沿着一条圆锥曲线运行,而这条圆锥曲线的焦点与这个系统的质心重合(对于双曲线,是与焦点同侧的那一支)。

假如这两个物体被限制在一起,它们的运动轨迹都为椭圆;这时的势能(经常为一负值)相对于它们离得很远情况在绝对值上大于这个系统总动能(这些物体在它们坐标轴的旋转能这里未计算在内)。

假如它们正在远离,它们将一同沿着抛物线或双曲线运动。

对于双曲线的情况,势能的绝对值小于这个系统的总动能;即两种能量的和为正值。

对于抛物线的情况,两种能量的和为0。当两物体相距很远时,它们的相对速度趋于0。

注释:抛物线轨道的能量为0的事实由当物体相距无限远时,重力势能为0这一假定产生的。系统在无限分离的状态下可以被认为具有任意值(例如42焦)的势能。那一种状态被假定具有0势能(即0焦)。

三体问题[编辑]

n\geq 3 时的N体问题现在知道得很少。n=3的情况研究得最多,且很多结论可以推广到更大的n。最先尝试解决三体问题是从量化的、寻找显式解的角度。

  • 1767年欧拉找到了共线周期轨道,其中任意质量的三个物体振荡在旋转线上。
  • 1772年拉格朗日发现了一些周期解,存在周期性的扩张和收缩的旋转等边三角形的顶点上。这些解引领了关于中心结构的研究,其中\ddot q=kq k为大于零的常数)。

三体问题是很令人费解的。它的解可能是混沌的。Charles Delaunay曾经在地-月-日系统做出了主要研究。他曾于1860年和1867年分别出版了长达900页的关于这个问题的著作。

为解决N体问题设立的奥斯卡二世奖[编辑]

Sundman的三体问题理论[编辑]

N体问题的通用解[编辑]

N体问题的奇妙[编辑]

其它[编辑]