多变量正态分布

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GaussianScatterPCA.png
Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).
概率多变量函數
參數 μRN — 位置
ΣRN×N协方差矩阵 (半正定)
支撑集 xμ+span(Σ) ⊆ RN
概率多变量函數 (2\pi)^{-\frac{N}{2}}|\boldsymbol\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\, e^{ -\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)'\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu) },
(仅当 Σ正定矩阵时)
累積分佈函數 解析表达式不存在
期望值 μ
眾數 μ
方差 Σ
信息熵 \frac{1}{2}\ln((2\pi e)^N |\boldsymbol\Sigma|)
動差生成函數 \exp\!\Big( \boldsymbol\mu'\mathbf{t} + \tfrac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)
特性函数 \exp\!\Big( i\boldsymbol\mu'\mathbf{t} - \tfrac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)

多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。

一般形式[编辑]

N维随机向量 \ X = [X_1, \dots, X_N]^T 如果服从多变量正态分布,必须满足下面的三个等價条件:


  • 存在随机向量 \ Z = [Z_1, \dots, Z_M]^T( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量 \ \mu = [\mu_1, \dots, \mu_N]^TN \times M 矩阵 \ A 满足 \ X = A Z + \mu.

\phi_X\left(u;\mu,\Sigma\right)
=
\exp
\left(
 i \mu^T u - \frac{1}{2} u^T \Sigma u
\right).

如果\ \Sigma非奇异的,那么该分布可以由以下的PDF来描述:


f_X(x_1, \dots, x_N)
=
\frac
 {1}
 {(2\pi)^{N/2}|\Sigma|^{1/2}}
\exp
\left(
 -\frac{1}{2}
 ( x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu)
\right)

參考資料[编辑]