多解析度分析

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多解析度分析(multiresolution analysis, MRA)或是多尺度近似(multiscale approximation, MSA)是最常用來分析離散小波轉換〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年[1]及1998年[2]由Stephane Mallat 著作的論文提到。

定義[编辑]

  • 取樣定理
    取樣定理主要是在重建一個時間長度T中被取樣過的信號:若信號是有限頻寬,只要奈奎斯特頻率(Nyquist frequency)比1/T小及可完整重建信號;否則得到的重建信號為近似的信號。因此可以說,愈小的T使得信號的重建愈容易,T的大小將決定信號解析度,同時,取樣頻率也受到,T的限制。
  • 概念
    倘若一個信號具有變化速度差異大的區段,像是信號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段,則上述單一解析度將不適用於分析信號。因此,多重解析度分析的概念因此而生。將信號在不同解析度上分析。
  • 定義
    V_j,j = \dots,-2,-1,0,1,2,\dots 為在函數空間L^2(R)裡的子空間的數列,假如
    1. 分簇性(nested):\dots\subset V_0\subset V_1\subset\dots\subset V_n\subset V_{n+1}\subset\dots\subset L^2(\R)
    2. 稠密性(density):\bar{\dots\cup V_{-1}\cup V_0\cup V_1\cup\dots} = L^2(R)
    3. 分離性(seperation):\dots\cap V_{-1}\cap V_0\cap V_1\cap\dots = {0}
    4. 調節性(scaling):f(2^{-j}x)\in V_0\leftrightarrow f(x)\in V_j
    5. 正規正交基底(orthonormal basis):\phi\in V_0且集合\left\{\phi(x-k),k\in Z\right\}V_0的一正規正交基底。
    \left\{V_j,j\in Z\right\}為帶有調整函數\phi的多解析度分析。
  • 應用
    在高頻的時候,使用較細緻的時間解析度及較粗糙的頻率解析度。
    在低頻的時候,使用較細緻的頻率解析度及較粗糙得時間解析度。
    相當適合使用在長時間都是低頻成份,只有在短時間內會有高頻成份的信號

参考文献[编辑]

  1. ^ Mallat, S., "A Theory for Multi-resolution Approximation: the Wavelet Approximation," IEEE Trans. PAMI 11 (1989), 674-693.
  2. ^ Mallat, S., "A Wavelet Tour of Signal Processing," Academic Press, San Diego, 1998.
  • Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"