多重对数函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

多重对数函数英语polylogarithm,也称:Jonquière's function)是数学中一种特殊的幂级数,定义为:

\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

一般来说,多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数。上述定义中,自变量|z| < 1,s对所有复数值有效。通过解析延拓,可以将z的定义域扩展到更大的范围。

复平面上几种不同的多重对数函数
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
Complex polylogminus1.jpg
Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg

\operatorname{Li}_{-3}(z)

\operatorname{Li}_{-2}(z)

\operatorname{Li}_{-1}(z)

\operatorname{Li}_{0}(z)

\operatorname{Li}_{1}(z)

\operatorname{Li}_{2}(z)

\operatorname{Li}_{3}(z)

s = 1時的多重对数函数可以用自然對數表示(Li1(z) = −ln(1−z)),s = 2和3的多重对数函数分別稱為dilogarithm及trilogarithm,其名稱的由來是多重对数函数表示為以下的遞迴積分式:


\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.

因此s = 2的多重对数函数可表示為自然對數的積分,以此類推。若其階數s為零或負的整數,其多重对数函数為有理函數

多重对数函数出現在费米-狄拉克分佈玻色-爱因斯坦分佈解析解的積分式中,因此也稱為费米-狄拉克積分玻色-爱因斯坦積分

外部链接[编辑]